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2017 2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质学案含解析新人教A版选修.doc


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2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质学案含解析新人教A版选修 抛物线的简单几何性质
[提出问题]
问题1:抛物线有几个焦点?
提示:一个焦点.
问题2:有人说“抛物线是双曲线的一支”,这句话对吗?
提示:不对.
问题3:抛物线y2=2px有对称性吗?
提示:有,关于x轴对称.
[导入新知]
抛物线的简单几何性质
类型
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图形


范围
x≥0,
y∈R
x≤0,
y∈R
x∈R,
y≥0
x∈R,
y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e=1
开口
方向
向右
向左
向上
向下
[化解疑难]
,一个顶点,一个焦点,,,不同于椭圆、双曲线.
:,影响抛物线开口大小.
抛物线方程及其几何性质
[例1] 已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且
△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直线AB的方程.
[解] (x0,y0),由题意可知B(x0,-y0),
又F是△AOB的垂心,
则AF⊥OB,
∴kAF·kOB=-1,
即·=-1,
∴y=x0,
又y=2px0,
∴x0=2p+=.
因此直线AB的方程为x=.
[类题通法]
根据抛物线的几何性质求抛物线的方程,一般利用待定系数法,先“定形”,再“定量”.但要注意充分运用抛物线定义,并结合图形,必要时还要进行分类讨论.
[活学活用]
已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.
解:由题意,可设抛物线方程为y2=2px(p≠0),则
焦点F,直线l:x=,
∴A,B两点坐标分别为,,
∴|AB|=2|p|.
∵△OAB的面积为4,
∴··2|p|=4,
∴p=±2.
∴抛物线方程为y2=±4x.
直线与抛物线的位置关系
[例2] 若抛物线y2=4x与直线y=x-4相交于不同的两点A,B,求证:OA⊥OB.
证明:由消去y,
得x2-12x+16=0.
∵直线y=x-4与抛物线相交于不同两点A,B,
∴可设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1+x2=12,x1x2=16.
∵·=x1x2+y1y2
=x1x2+(x1-4)(x2-4)
=x1x2+x1x2-4(x1+x2)+16
=16+16-4×12+16=0,
∴⊥,即OA⊥OB.
[类题通法]
将直线方程与抛物线方程联立,转化为一元二次方程,可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件,利用限制条件建立不等式或等式,利用根与系数的关系运算求解.
[活学活用]
过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程.
解:显然,直线斜率k存在,
设其方程为y-2=k(x+3),

消去x,整理得ky2-4y+8+12k=0.①
(1)当k=0时,方程①化为-4y+8=0,即y=2,此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件.
(2)当k≠0时,方程①应有两个相等实根.
由即
得k=或k=-1.
所以直线方程为y-2=(x+3)或y-2=-(x+3),
即x-3y+9=0或x+y+1=0.
故所求直线有三条,其方程分别为:y=2,x-3y+9=0,x+y+1=0.
抛物线中的最值问题
[例3] 在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.
[解] 法一:设P(x0,y0)是y2=2x上任一点,
则点P到直线l的距离
d==
=,
当y0=1时,dmin=,
∴P.
法二:设与抛物线相切且与直线x-y+3=0平行的直线方程为x-y+m=0,

得y2-2y+2m=0,
∵Δ=(-2)2-4×2m=0,
∴m=.
∴平行直线的方程为x-y+=0,
此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离,则dmin==,此时点P的坐标为.
[类题通法]
解决与抛物线有关的最值问题时,一方面注意从几何方面观察、分析,并利用抛物线的定义解决问题;另一方面,还要注意从代数角度入手,建立函数关系,,与抛物线有关的最值问题主要有两种方法:(1)定义法;(2)函数法.
[活学活用]
点P在抛物线2y2=x上,点Q在圆(x-2)2+y2=1上,求|PQ|的最小值.

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  • 时间2018-02-21