2017 2018学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.2圆的一般方程学案北师大版必修.doc

2017_2018学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.2圆的一般方程学案北师大版必修 圆的一般方程
.(重点)
.(难点)
.(难点)
[基础·初探]
教材整理圆的一般方程
阅读教材P81“练****以下至P82“例3”以上部分,完成下列问题.
:当D2+E2-4F>0时,称二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0为圆的一般方程.
+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形:
方程
条件
方程的解的情况
图形
x2+y2+Dx+Ey+F=0
D2+E2-4F<0
没有实数解
不表示任何图形
D2+E2-4F=0
只有一个实数解
表示一个点
D2+E2-4F>0
无数个解
表示以为圆心,以为半径的圆
将圆的一般方程x2+y2+2x-4y-4=0化为标准方程为______.
【解析】 x2+y2+2x-4y-4=0可化为(x+1)2+(y-2)2=9.
【答案】(x+1)2+(y-2)2=32
[小组合作型]
二元二次方程与圆的关系
判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=,求出圆心和半径;若不能,请说明理由.
【精彩点拨】解答本题可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.
【自主解答】法一:由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,
可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,
∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2,
因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆的方程,
此时,圆的圆心为(2m,-m),
半径为r==|m-2|.
法二:原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,
因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,表示圆的方程,
此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=|m-2|.
解决这种类型的题目,一般要看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,即(1)x2与y2的系数是否相等;(2),再看D2+E2-4F>0是否成立,也可以通过配方化成“标准”形式后,观察等号右边是否为正数.
[再练一题]
+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的范围是________.
【解析】由题意可知(-2)2+12-4k>0,即k<.
【答案】
求圆的一般方程

求圆心在直线y=x上,且经过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程.
【精彩点拨】→→
【自主解答】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心是,由题意知,
解得D=E=-4,F=-2,
即所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.
【答案】 x2+y2-4x-4y-2=0
用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择:
(1)如果由已知条件容易求圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出参数D,E,F.
[再练一题]
(0,0),B(1,1),C(4,2),