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§3 导数的应用.doc


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文档列表 文档介绍
§3__导数的应用§3 导数的应用
【考试要求】
,掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及应用.
(注:在区间
内,设函数具有二阶导数,当时,的图形是凹的;当时,的图形是凸的),会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
、曲率圆、曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径(数三不要求).
一、基本概念

定理1 设在区间上可导,
(1)若对,则在上单调增加;
(2)若对,则在上单调减
少.
、极值的求法
定义 1 设在的某去心邻域内恒有:
在取得极小值;
在取得极大值.
定理2(可导函数取得极值的必要条件) 设
在点处可导,若在处取得极值,则.
注仅是函数在处取得极值的必要条件而不是充分条件,因为导数不存在的点也有可能是极值点.
定义2 使得的点称为的驻点.
定理3(判别极值的第一充分条件)
设是的驻点,即(或者只在连续,但不存在),且在的某邻域内,对,有
(1)在
取得极大值;
(2)在取得极小值;
(3)当经过时,不变号在不取得极值.
定理4(判别极值的第二充分条件)
设在有二阶导数, 且, ,则
(1)当时,为极大值;
(2)当时,为极小值;
(3)当时,此定理不能判定,改用第一充分条件.

定义3(凹凸性定义)设在区间上有定义,对,
若则称的图形在上是凸的;
若则称的图形在上是凹的.
定理5(凹凸性判别定理)在区间上,若,则的图形在上凹;若,则的图形在上凸.

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