三次样条插值的新算法.doc

网络首发时间: 2017-11-15 15:58
龙岩学院学报 2017,05(35),4-7 DOI:-1286/
三次样条插值的新算法
连德忠吴文城游德有黄毅
龙岩学院
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摘    要:
采用对称式样条插值多项式, 利用样条函数所需条件, 得出三次样条插值及代数解析式的新算法。同时将所设计的运算方法编辑成MATLAB程序, 利用计算机求解三次样条插值及代数解析式。
关键词:
样条插值; 对称式; 边界条件; MATLAB程序;
作者简介:连德忠, 男, 福建龙岩人, 龙岩学院信息工程学院教授, 主要研究方向:数值代数。
收稿日期:2017-07-07
基金:福建省大学生创新创业训练计划项目(S)
A New Calculation Method of Cubic Spline Interpolation Function Value
LIAN Dezhong WU Wencheng YOU Deyou HUANG Yi
Longyan University;
Abstract:
By using a symmetric polynomial and some properties of the spline interpolation, we get a new calculation method of cubic spline interpolation function value. According to the new method, we edit some Matlab programs puting function value puters.
Keyword:
spline interpolation; symmetric polynomial; boundary condition; Matlab program;
Received: 2017-07-07
样条插值是插值计算中最重要、最实用的计算方法, 也是许多科研工作者经常采用的经典算法[1-4]。在传统的数值分析或计算方法的教材里[5-6], 通常先假设样条插值多项式在各插值点的二阶导数值, 利用各段样条插值应符合的条件, 连同边界条件, 建立各插值点二阶导数值应满足的方程组, 求出各插值点的二阶导数值, 然后利用这些二阶导数值求解出各段样条插值多项式。本文利用三次样条插值多项式的对称性, 结合样条插值的各项条件, 直接求解三次样条插值。
1 原理
假设f (x) 在插值点xi (i=0, 1, 2, …, n) 上的函数值分别为yi (i=0, 1, 2, …, n) , f (x) 的三次样条分段插值多项式可以用对称形式表示为
其中Ai, Bi, Ci, Di为待定常数, 这些常数由2n个插值条件
(2n-2) 个衔接条件
连同两个边界条件来确定。
将上述2n个插值条件代入三次样条插值多项式(1) , 得益于(1) 的对称性, 得到2n个简易线性方程
这里hi=xi-xi-1 (i=1, 2, …, n) 代表第i段区间长度。
将(2n-2) 个衔接条件代入() , 得(2n-2) 个线性方程
而三次样条插值多项式(1) 共有4n个待定系数, 因此必须补两个边界条件。
三次样条插值的边界条件有三种:
1. 第一边界条件
2. 第二边界条件

其中周期边界条件要求f (x) 的函数值满足周期特征y0=yn。
分别将三种边界条件代入式(1) , 可得两个线性方程
无论由哪种边界条件所得的两个线性方程, 连同前面(4n-2) 个方程, 组成一个以4n个待定常数Ai, Bi, Ci, Di (i=1, 2, …, n) 为未知量的线性方程组, 该方程组的系数矩阵仅由n个区间长度hi构成。不难验证, 只要hi≠0 (i=1, 2, …, n) , 那么方程组的系数矩阵一定非奇异, 因此这组待定常数存在且唯一, 即三次样条插值多项式(1) 存在且唯一。
2 编程
借助计算软件, 可以快速、准确求解三次样条插值多项式。在众多计算软件中, MATLAB无疑是最适合的一种[7-9]。首先MATLAB具有强大的科学计算和数据处理功能, 拥有600多个数学运算函数, 不仅可以方便地实现上述计算过程中所需的各种计算功能, 而且其各种函数的自变量可以兼容多维数组数据(向量或矩阵) , 特别适合本文所设计的