ysh1.4线性常系数差分方程讲稿.ppt

离散时间系统的描述
离散时间系统的输入和输出信号都是离散时间函数(序列)。这种系统的工作情况,不能用连续时间系统的微分方程来描述,而必须采用差分方程来描述。
§ 线性常系数差分方程
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设有序列f(k),则…,f(k+2),f(k+1),…,f(k-1),f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。

离散信号的变化率有两种表示形式:
仿照微分运算,定义离散信号的差分运算。
(与连续信号的微分运算相对应)
一、差分与差分方程
一阶后向差分定义:f(k) = f(k) –f(k –1)
简称为差分。
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2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程
描述LTI离散系统的是常系数线性差分方程。其一般形式可写为
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
式中各系数均为常数,就称为常系数差分方程;
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求解常系数线性差分方程的常用方法有以下几种:

迭代法是采用代入初始值逐次求解的方法。

时域经典法比较麻烦,很少采用,先分别求齐次解与特解,然后代入边界条件求待定系数。

利用Z变换求解差分方程有许多优点,它是在实际应用中最简便而有效的方法。我们在第2章将详细讨论。
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差分方程的迭代解法
差分方程本质上是递推的代数方程,若已知初始条件和激励,利用迭代法可求得其数值解。
例:若描述某系统的差分方程为
y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k)
已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k), 求y(k)
解: y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k)
k=2 y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2
k=3 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10
k=4 y(4)= – 3y(3) – 2y(2) + f(4) = – 10
……
用迭代法求解思路清晰,便于用计算机进行计算。
一般不易得到解析形式的(闭合)解。
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