第二讲牛顿插值与分段线性插值.ppt

计算方法
第2讲牛顿插值与分段线性插值
本讲主要问题
一、差商及其性质
二、牛顿插值多项式
三、差分形式的牛顿插值公式
四、分段线性插值
拉格朗日插值多项式形式对称, 计
算较方便, 但由于Pn(x)依赖于全部节点,
若算出所有Pn(x)后又需要增加节点, 则必须
重新计算, 为了克服这个缺点, 我们引进牛顿差商
插值多项式.
目的: 构造具有如下形式的插值多项式
它满足递推性:
定义给定一个函数表
f(xn)
…
f(x2)
f(x1)
f(x0)
y=f(x)
xn
…
x2
x1
x0
x
零阶差商: f(xi) (i=0, 1, 2, …, n)
一、差商及其性质
一阶差商:
二阶差商:
n 阶差商:
例1 设 f(0)=1, f(2)=5, f(4)=9, 求
f(0, 2), f(2, 4), f(0, 2, 4).
性质均差具有对称性:任意改变节点
的次序后其值不变.
差商表
xi
f(xi)
1阶
2阶
3阶
4阶
……
x0
f(x0)
x1
f(x1)
f(x0,x1)
x2
f(x2)
f(x1,x2 )
f(x0,x1,x2)
x3
f(x3)
f(x2,x3 )
f(x1,x2,x3 )
f(x0,x1,x2,x3)
x4
f(x4)
f(x3,x4 )
f(x2,x3,x4 )
f(x1,x2,x3,x4 )
f(x0,x1,x2,x3,x4)
┊
┊
┊
┊
┊
┊
……
(答案: 2,2,0)
计算规律: 任一个k(≥1) 阶差商的
数值等于一个分式的值, 其分子为所求
差商左侧的数减去左上侧的数, 分母为所求
差商同一行最左边的节点值减去由它往上数第k个
节点值.
注意: 差商表中, 对角线上的差商是构造牛顿型
插值公式的重要数据.
练****br/>已知函数 y=f(x)的观测数据如表, 试构造均差表,并求f(2, 4, 5)及f(2, 4, 5, 6)的值.
1 5 9 -4 13
f(x)
0 2 4 5 6
x
(答案: -5,5)
二、牛顿插值多项式
牛顿线性插值多项式:
牛顿二次插值多项式:
牛顿 n次插值多项式:
余项公式的牛顿形式:
计算牛顿插值多项式的步骤:
(1) 作差商表;
(2) 根据公式计算牛顿型插值多项式(表
中对角线上各均差值就是 Pn(x) 的各项系数).
例2 已知函数y=f(x)的观测数据如下
试用全部节点构造牛顿差商插值多项式, 并用二次插值求 f(3)的近似值.
1 5 9 -4 13
f(x)
0 2 4 5 6
x
(答案: P4(x) =1+2x – x(x – 2)(x – 4)+x (x – 2)(x – 4)(x – 5)
f(3)≈P2(3)=12.)
练****br/>已知函数y=f(x)的观测数据如下
试用全部节点构造牛顿差商插值多项式, 并用二次插值求 f(3/2)的近似值.
1 2 -1
f(x)
1 3 2
x
答案: f(3/2)≈-
三、差分形式的牛顿插值公式 ——节点等距的情况
1. 差分的定义
定义设节点等距, xi = x0+ th, i=0, 1, …, n. h称
为步长.
零阶差分:
一阶差分:
二阶差分:
n 阶差分: