考研数学一历年真题(2002-2012).doc

2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,)
(1)= _____________.
(2)已知,则=_____________.
(3)满足初始条件的特解是_____________.
(4)已知实二次型经正交变换可化为标准型,则=_____________.
(5)设随机变量,,则=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)考虑二元函数的四条性质:
①在点处连续, ②在点处的一阶偏导数连续,
③在点处可微, ④在点处的一阶偏导数存在.
则有:
(A)②③①(B)③②①
(C)③④①(D)③①④
(2)设,且,则级数为
(A)发散(B)绝对收敛
(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.
(3)设函数在上有界且可导,则
(A)当时,必有(B)当存在时,必有
(C) 当时,必有(D) 当存在时,必有.
(4)设有三张不同平面,其方程为()它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
(5)设和是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为和,分布函数分别为和,则
(A)+必为密度函数(B) 必为密度函数
(C)+必为某一随机变量的分布函数(D) 必为某一随机变量的分布函数.
三、(本题满分6分)
设函数在的某邻域具有一阶连续导数,且,当时,若,试求的值.
四、(本题满分7分)
已知两曲线与在点
,并求极限.
五、(本题满分7分)
计算二重积分,其中.
六、(本题满分8分)
设函数在上具有一阶连续导数,是上半平面(>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(),终点为().
记,
(1)证明曲线积分与路径无关.
(2)当时,求的值.
七、(本题满分7分)
(1)验证函数()满足微分方程.
(2)求幂级数的和函数.
八、(本题满分7分)
设有一小山,取它的底面所在的平面为面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为.
(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为,写出的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,(1).
九、(本题满分6分)
已知四阶方阵, 均为四维列向量,其中线性无关,.若,求线性方程组的通解.
十、(本题满分8分)
设为同阶方阵,
(1)若相似,证明的特征多项式相等.
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.
(3)当为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
十一、(本题满分7分)
设维随机变量的概率密度为
对独立地重复观察4次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望.
十二、(本题满分7分)
设总体的概率分布为
0
1
2
3
其中()是未知参数,利用总体的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.
求的矩估计和最大似然估计值.
十一、(本题满分7分)
设维随机变量的概率密度为
对独立地重复观察4次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望.
十二、(本题满分7分)
设总体的概率分布为
0
1
2
3
其中()是未知参数,利用总体的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.
求的矩估计和最大似然估计值.
2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,)
(1) = .
(2)曲面与平面平行的切平面的方程是.
(3)设,则= .
(4)从的基到基的过渡矩阵为.
(5)设二维随机变量的概率密度为,则.
(6)已知一批零件的长度(单位:cm)服从正态分布,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),.
(注:标准正态分布函数值
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数在内连续,其导函数的图形如图所示,则有
(A)一个极小值点和两个极大值点
(B)两个极小值点和一个极大值点
(C)两个极小值点和两个极大值点
(D)三个极小值点和一个极大值点
(2)设均为非负数列,且,,,则必有
(A)对任意成立(B)对任意成立
(C)极限不存在(D)极限不存在
(3