考研高数习题集(上).doc

第二讲: 导数及应用
单元一: 定义求导
1. 设, 求: []
[]
2. 设可导, , 求:

3. 设, 求: .
[]
4. 设, 求: .
[]
5. 设, 并且可导, 求.

6. 满足:, 求:.
[]
7. 若在处有:, 则在处有:
[]
8. 求,其中分别为:
(1),连续; []
(2),连续,; []
(3),有界. []
9. , 求: . [不存在]
10. 在上满足: (1)
(2), 证明: .
[]
11. 问在处是否连续?可导?
(1) []
(2),其中有界[]
(3) []
(4), 且. []
12. 奇函数在处可导, 问: 在处是否连续?
可导? []
13. 设且在处可导,令,求
[
14. 设函数在上连续, 又,, 证明: 对满
足的一切, .

15. 考察函数在处的连续性,可导性,以及的连续性.
[]
16. 若有连续的导数,且,设,确定常数,使
连续,并问此时是否连续?
[]
单元二: 公式与法则
1. 设,且,求:. []
2. 在处具有连续导数, 且, 求.
[]
3. 可导,,求:
[]
4. 求:(1) []
(2) []
(3) []
(4) []
5. 求:(1) [
(2) []
(3) []
(4),求[]
6. ,.
[]
7. 选定参数, 使立方抛物线:,与曲线
光滑连接起来. []
[]
8. , 问为何值时,可导, 并求

9. (1),求. []
(2),求. []
(3), 求; []
(4), 求:. []
10. (1), 求[]
(2),求

(3), 求: .
[]
11. 设, 证明: .
[]
单元三: 特殊求导法
1. 确定, 证明: 单调,并求
[]
2. 设, 求其反函数的导数
[]
3. 由方程确定, 求. []
4. ,求:. []
5. , 求: . []
6. 由方程确定, 求
[]
7. , :可导, 求. []
8. 已知, 而是由方程所确定的的函数, 求: .
[]
9. 可导单调,,,由,求
[,]
10. 设函数由等式所确定, 求: 。
[]
11. 由确定的隐函数为, 求: 。
[]
12. 单调可导,其反函数为,且已知求

13. ,求

14. 求: (1); []
(2). []
15. 设由:确定,考察在相应于处的可微性

单元四: 斜率与切线
1. 求对数螺线: 在点处的切线方程.
[]
2. 求与的公切线方程.
[]
3. 问: 曲线与曲线在哪些点相切, 哪些点直交.
[相切:; 直交:]
4. 为周期为的连续函数, 它在的某个邻域内满足:

其中是当时比高阶的无穷小量, 且在处可导, 求曲线
在点处的切线方程. [,
]
单元五: 单调性与极值
1. 设试考察:(1)定义域内连续性; (2)单调性; (3)
[,连续; (2)递减; (3)]
2. 设为已知的连续函数,令,其中, 则的值:
依赖于,不依赖于; 依赖于和;
依赖于和,不依赖于; 依赖于和.
3. 函数的单调减少区间为?
[连续!, 递减]
4. 由:所确定, 求的单调区间.
[]
5. 上二阶可导,且,证明在内递增.
[]
6. 设在内连续,且, 求证:当时单调增加.
[]
7. 三数: 中哪个最大?
8. 设, 判断: 与的大小.
[]
9. 设可导函数,大于零, , 且, 则: []
;
;
10. 考察的单调性.
[]
11. 讨论函数在区间内的单调性与极值.
[
]
12. 设三次函数有两个极值点及其对应的两个极值均为相反数,则函
数图形关于什么对称?
[奇函数]
13. 满足: , 求的极值

14. 求的极值’
[]
15. 在上连续,,求驻点和极值点.
[驻点: 极小值点:; 极大值点:]
16. 在处连续, , 问:是什么点?
[极大值点]
17. 已知在点的某邻域内连续,且,则处必: []
不可导; 可导,但; 取到极小值; 取到极大值
18. 求,使仅有两个相异负值驻点,且有唯一极值点
[]
19. 求的极值点. [极小值点;极大值点]
[]
单元六: 单调性应用
1. 设, (为自然数), (1)求; (2)证明