第六章矩阵函数
矩阵的多项式表示与矩阵的最小多项式
定义: 已知和关于变量的多项式
那么我们称
为的矩阵多项式。
设为一个阶矩阵, 为其Jordan标准形,则
于是有
我们称上面的表达式为矩阵多项式的Jordan表示。其中
例已知多项式
与矩阵
求。
解:首先求出矩阵的的Jordan标准形及其相似变换矩阵
那么有
定义:已知和关于变量的多项式
如果满足,那么称
为矩阵的一个零化多项式。
定理:已知, 为其特征多项式,
则有
我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。
证明由于矩阵A在复数域内相似于Jordan标准
型矩阵J,即有C上可逆阵P使得
,
)=0,于是f(J)=0.
由于
因此,f(A)=0当且仅当f(J)=
故f(J)=0当且仅当,而
所以,因此
f(J)=0,故f(A)=0.
定义:已知,在的零化多项式中,次数最低且首项系数为1的零化多项式称为的最小多项式,通常记为。
最小多项式的性质:已知,那么
(1)矩阵的最小多项式是唯一的。
(2)矩阵的任何一个零化多项式均能被
整除。
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