2017-2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语疑难规律方法学案 北师大版选修2-1.doc

第一章常用逻辑用语
1 怎样解逻辑用语问题

充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念,,将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来,看得见、想得通,,:
(1)A是B的充分条件,即A⊆B.
(2)A是B的必要条件,即B⊆A.
(3)A是B的充要条件,即A=B.
(4)A是B的既不充分又不必要条件,
即A∩B=∅或A、B既有公共元素也有非公共元素.
或
例1 设集合S={0,a},T={x∈Z|x2<2},则“a=1”是“S⊆T”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
解析 T={x∈Z|x2<2}={-1,0,1},a=1时,S={0,1},所以S⊆T;反之,若S⊆T,则S={0,1}或S={0,-1}.所以“a=1”是“S⊆T”的充分不必要条件.
答案充分不必要
,对症下药
全称命题与特称命题是两类特殊的命题,这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念,解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词,理解其相应的含义,从而对症下药.
例2 (1)已知命题p:“任意x∈[1,2],x2-a≥0”与命题q:“存在x∈R,x2+2ax+2+a=0”都是真命题,则实数a的取值范围为______________.
(2)已知命题p:“存在x∈[1,2],x2-a≥0”与命题q:“存在x∈R,x2+2ax+2+a=0”都是真命题,则实数a的取值范围为__________________.
解析(1)将命题p转化为当x∈[1,2]时,
(x2-a)min≥0,即1-a≥0,即a≤1.
命题q:即方程有解,Δ=(2a)2-4×(2+a)≥0,
解得a≤-1或a≥2.
综上所述,a的取值范围为(-∞,-1].
(2)命题p转化为当x∈[1,2]时,(x2-a)max≥0,
即4-a≥0,即a≤(1).
综上所述,a的取值范围为(-∞,-1]∪[2,4].
答案(1)(-∞,-1] (2)(-∞,-1]∪[2,4]
点评认真比较两题就会发现,两题形似而神异,所谓失之毫厘,谬之千里,需要我们抓住这类问题的本质——量词,有的放矢.
,提高解题速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中,时时刻刻渗透着等价转化思想,例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假,它们就是等价的;但原命题与逆命题不等价,即原命题为真,其逆命题不一定为真.
例3 设p:q:x2+y2≤r2 (r>0),若q是綈p的充分不必要条件,求r的取值范围.
分析“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”.设p、q对应的集合分别为A、B,则可由A∁RB出发解题.
解设p、q对应的集合分别为A、B,将本题背景放到直角坐标系中,则点集A表示平面区域,点集∁RB表示到原点距离大于r的点的集合,也即是圆x2+y2=r2外的点的集合.
∵A∁RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r,
∴直线3x+4y-12=0上