F不等式不等式的证明.doc

定有限个正数满足条件T:每个数都不大于50且总和L=,每组数之和不大于150且分组的步骤是:
首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的,r1称为第一组余差;
然后,在去掉已选入第一组的数后,对余下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的余差为r2;如此继续构成第三组(余差为r3)、第四组(余差为r4)、…,直至第N组(余差为rN)把这些数全部分完为止。
(I)判断r1,r2,…,rN的大小关系,并指出除第N组外的每组至少含有几个数;
(II)当构成第n(n<N)组后,指出余下的每个数与rn的大小关系,并证明rn-1>;
(III)对任何满足条件T的有限个正数,证明:N≤11。
答案:
解: (Ⅰ) r1≤r2≤rN. 除第N组外的每组至少含有个数.
(Ⅱ) 当第n组形成后,因为n<N,所以还有数没分完,这时余下的每个数必大于余差rn. 余下数之和也大于第n组的余差rn,即
,
由此可得
因为所以
(Ⅲ)用反证法证明结论. 假设N>11,即第11组形成后,还有数没分完,由(Ⅰ)和(Ⅱ)可知,余下的每个数都大于第11组的余差r11,且r11≥r10,
故余下的每个数> r11≥r10>
因为第11组数中至少含有3个数,×3=.
此时第11组的余差r11=150—第11组数之和<150—=,
这与(*)式中r11>,所以N≤11.
来源:04北京市
题型:解答题,难度:较难
设二次函数
(1)求证:存在
(2)对(1)中的的取值范围.
答案:
(1)
在方程中
所以方程有两个不等的实根
即存在………………6分
(2)
…………10分
又
…………14分
来源:
题型:解答题,难度:较难
已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明:.
答案:
由,
所以
同理: ,
相加得:左³
来源:09年江苏盐城月考二
题型:解答题,难度:中档
是否存在常数c,使得不等式对任意正实数x、y恒成立?证明你的结论.
答案:
解: 当时,由已知不等式得……3分
下面分两部分给出证明:
⑴先证,
此不等式
,此式显然成立; ……7分
⑵再证,
此不等式
,此式显然成立. ……10分
综上可知,存在常数,是对任意的整数x、y,
来源:
题型:解答题,难度:中档
已知二次函数f (x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的公共点,若f (c)=0,且0<x<c时,f (x)>0.
(1)试比较与c的大小;
(2)证明:-2<b<-1;
(3)当c>1,t>0时,求证:>0.
答案:
(1)证:∵f (x)的图象与x轴有两个不同的公共点
∴方程f (x) =0有两个不同的实根
∵f (c)=0,∴c是方程f (x)=0的一个根
设方程的另一根为x0,则 2分
若,由0<x<c时,f (x)>0 得:,与矛盾 4分
又方程f (x)=0有两个不同的实根,∴≠c,因此 6分
(2)证: f (c)=0 Û ac+b+1=0,∴b=-1-ac<-1
∵,∴,∴-2<b<-1 . 10分
(3)证:∵0<1<c,∴f (1)>0,即a+b+c>0 Þ b>-a-c 12分

又∵,c>1 ∴Þ a<c
∴,故
来源:
题型:解答题,难度:中档
设函数R,R.
(1)当时,和都满足:存在实数,使≥,≥;
(2)(文科不做、理科做)对于(1)中的,设实数满足.
求证:.
答案:
解:(1)当时,,当且仅当时,等号成立,(4分)即,时,,…………3分(6分)
当时,,.………(8分)
当时有,,
、分别是和在()上的最小值.
…(12分)解得,.
,.…………7分(14分)
(2).
,
来源:
题型:解答题,难度:中档
命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为.
答案:
答案:若
来源:05年江苏
题型:填空题,难度:中档
已知a ÎR+, 且a ≠ 1, 又M = , N = , P = , 则M, N , P的大小关系是.
答案:
M > N > P
来源:
题型:填空题,难度:中档
考察下列一组不等式:
.
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式可以是__________.
答案:
(或为正整数)
来源:08年高考南京市月考一
题型:填空题,难度:中档