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向量内积的坐标运算与距离公式
【教学目标】
1. 掌握向量内积的坐标表示,并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题.
2. 能够根据平面向量的坐标,判断向量是否垂直.
3. 通过学****向量的坐标表示,使学生进一步了解数形结合思想,认识事物之间的相互联系,培养学生辩证思维能力.
【教学重点】
向量内积的坐标表达式,向量垂直的充要条件,向量长度的计算公式的应用.
【教学难点】
向量内积的坐标表达式的推导,即 a·b=| a | | b | cos‹a,b›与 a·b=a1b1+a2b2两个式子的内在联系.
【教学方法】
,,,不断使学生的平面向量知识系统化、条理化,从而有利于学生知识体系的形成.
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
与 b ,则a与b的内积表达式是怎样的?由内积表达式怎样求cos‹a,b›?
2. a^b Û ;
3. | a | 与有何关系?
教师提出问题.
.
师:对平面向量的内积的研究不能仅仅停留在几何角度,.
为知识迁移做准备.
新
已知e1,e2 是直角坐标平面上的基向量,a=(a1,a2),b=(b1,b2),你能推导出a·b 的坐标公式吗?
探究过程
a·b=(a1e1+a2e2)·(b1e1+b2e2)
=a1b1e1·e1+a1b2e1·e2
学生讨论并回答,教师再提出的下列问题:
(1)(a1e1+a2e2)·(b1 e1+b2 e2)是怎样进行运算的?
(2)e1·e1,e2·e2 ,e1·e2的内积是怎样计算的?
,比直接给出更符合学生的特点,容易被学生接受.
课
新
课
+a2b1e1·e2+a2b2e2·e2,
又因为
e1·e1=1,e2·e2=1,e1·e2=0,
所以
a·b=a1b1+a2b2.
定理在平面直角坐标系中,已知e1,e2 是直角坐标平面上的基向量,两个非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则
a·b=a1b1+a2b2.
这就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和.
我们还可以得到以下结论:
(1)向量垂直的充要条件为
a⊥bÛ a1 b1+a2 b2=0;
(2)两向量夹角余弦的计算公式为
cos‹a,b›=.
问题:
(1)若已知a=(a1,a2) ,你能用上面的定理求出| a | 吗?
解因为
| a |2=a·a=(a1,a2)·(a1,a2)
=a12+a22,
所以| a |=.
这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式.
(2)若已知A(x1,y1),B(x2,y2),你能求出|| 吗?
解因为A(x1,y1),B(x2,y2),所以
=(x2-x1,y2-y1).
因为| a |=,所以
||=,
.
教师给出向量