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第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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[考纲传真] 、、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).
、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β;
(2)cos(α±β)=cos_αcos_β∓sin_αsin_β;
(3)tan(α±β)=.
、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcos α;
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=.

(1)公式T(α±β)的变形:
①tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan_αtan_β);
②tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan_αtan_β).
(2)公式C2α的变形:
①sin2α=(1-cos 2α);
②cos2α=(1+cos 2α).
(3)公式的逆用:
①1±sin 2α=(sin α±cos α)2;
②sin α±cos α=sin.

asin α+bcos α=sin(α+φ).
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( )
(2)在锐角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B大小不确定.( )
(3)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.( )
(4)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.( )
[答案] (1)√(2)× (3)× (4)×
2.(教材改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( )
A.- B.
C.- D.
D [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故选D.]
3.(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ=-,则cos 2θ=( )
A.- B.-
C. D.
D [∵cos 2θ==.
又∵tan θ=-,∴cos 2θ==.]
4.(2017·云南二次统一检测)函数 f(x)=sin x+cos x的最小值为________.
-2 [函数f(x)=2sin的最小值是-2.]
,β满足(1+tan α)(1+tan β)=4,则α+β=________.
[由(1+tan α)(1+tan β)=4,
可得=,即tan(α+β)=.
又α+β∈(0,π),∴α+β=.]
三角函数式的化简
(1)化简:=________.
(2)化简:.
(1)2cos α[原式==2cos α.]
(2)原式=
===cos 2x.
[规律方法] “三看”原则
(1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式.
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,最常见的是“切化弦”.
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向.

弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.
[变式训练1] 化简sin2+sin2-sin2α=________.
[法一:原式=+-sin2α
=1--sin2α=1-cos 2α·cos -sin2α=1--=.
法二:令α=0,则原式=+=.]
三角函数式的求值
角度1 给角求值
(1)=( )
A. B.
C. D.
(2)sin 50°(1+tan 10°)=________.
(1)C (2)1 [(1)原式==
==.
(2)sin 50°(1+tan 10°)
=sin 50°
=sin 50°×
=sin 50°×
====1.]
角度2 给值求值
(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos=,则sin 2α=( )
A. B.
C.- D.-
(2)(2016·安徽十校联考)已知α为锐角,且7sin