现代控制理论单倒立摆综合报告.ppt

单倒立摆控制系统
建立模型
构建单倒立摆状态空间
系统稳定性能控性及能观测性分析
带观测器状态反馈系统的设计
框图及仿真
分析现象
总结
建立模型
图示为单倒立摆系统的原理图,其中摆的长度l=1m,质量m=,通过铰链安装小车上,小车质量M=1kg,重力加速度g=。以在水平方向对小车施加的作用力u为输入,小车相对参考系产生的位移z为输出。若不给小车施加作用力,则倒立摆向左或向右倾倒。控制的目的是当小车在水平方向运动时,将倒立摆保持在垂直位置上。
M
u
z
m
l
θ
条件假设:1、小车在光滑面上 2、摆杆偏离的角度很小。
由牛顿第二定律可得:
水平方向上:

垂直方向:
由转动定律:
选择摆杆中心为质心,可得其转动惯量
f
mg
n
M
f
u
规定顺时针转矩方向为正方向,则摆杆的转矩方程:
由Taylor级数展开式:
所以当很小时,
模型近似化处理得
简化后的方程:

选择单级倒立摆角,摆速,小车位移,小车速度为状态变量以u为输入量,以小车位移 x 为输出量,带入已知条件可得单级倒立摆系统的状态空间表达式
构建单倒立摆状态空间
系统的状态空间表达式
令
系统稳定性能控性及能观测性分析
由matlab程序语言可得:
>> a=[0 1 0 0; 0 0 0;0 0 0 1;- 0 0 0];
>> b=[0;-;0;];
>> c=[0 0 1 0]
>> Qc=[b a*b a*a*b a*a*a*b]
>> Qo=[c; c*a; c*a*a ;c*a*a*a];
>> rank(Qc)=4;
>> rank(Qo)=4;
>> eig(a)
ans =
0
0 -
所以原系统既能控又能观测
特征值有零根和正实根
所以原系统不稳定
带观测器状态反馈系统的设计
因为系统为能控且能观测型,所以由分离特性,系统的状态反馈阵K和观测器的反馈阵G可以根据各自的要求,独立进行配置。
设状态反馈阵

由matlab程序语言可得:
>> a=[0 1 0 0; 0 0 0;0 0 0 1;- 0 0 0];
b=[0;-;0;];
>> p=[-1 -2 -1+j -1-j];
>> k=place(a,b,p)
k =
- - - -
令观测器反馈阵为
由matlab程序语言可得:
>> a=[0 1 0 0; 0 0 0;0 0 0 1;- 0 0 0];
c=[0 0 1 0];
>> po=[-2 -3 -2+j -2-j];
>> G=acker(a',c',po)'
G = -
-