计算机工程应用复习题-2011-5.5.ppt

在实际工程问题中,我们进行了大量的试验,从中得到了一个关于某个现象出现规律的描述方程,或者说借鉴了前人或其它人的研究成果,即,其中:
来描述某个现象的规律,并从这种规律中找出影响因素的最大值或最小值。从数学上讲,求出某函数的最大或最小值,就要对某个函数进行一次微分,即:
这时方程就变了:

要想求解出x,就得求解这个方程。
回顾:
第一章代数方程的计算机方法
其具体方法是:对于一般方程
首先将其变形为:
称为迭代函数。
其迭代过程中的计算公式就可以用下式表达:
反复进行迭代,直到:
1、迭代法
几何意义?
定理1 设φ(x)在[a,b]上具有连续的一阶导数,且
(1)对任意x∈[a,b],总有φ(x)∈[a,b]
(2)存在0≤L<1,使对任意x∈[a,b]成立
│φˊ(x*)│<L
基本思想是:为了把根夹住,先找到两个异号的值在两个异号的值之间选取方程f(x)=0根的一个估计值x0 ,然后将f(x)=0在x0处进行泰勒展开:
f(x1)=f(x0)+f’(x0)(x1-x0)+1/2f”(x0)(x1-x0)2+…=0

因为x0是在f(x0)的根值附近,所以,令:h=x1-x0是一个很小值则h2更是一个极小值,所以将泰勒展开式的右边的第三项以后的项都有忽略(作为误差来处理)
2、牛顿法
也即:
移项得:
得到:
这里xn+1是在x=xn 处曲线的切线
与x轴的交点。
这种方法的缺点是:
1、在迭代过程中,一但曲线的斜率f ’(x)=0,就无法迭代下去了。
2、还可以证明当f’’(x)趋于无穷大时,牛顿法也将失效。
会用牛顿法解方程
牛顿法的优点就是收敛速度快。但是其明显的缺点就是先要求出f’(x)的值来,如果求导不容易,这时牛顿法就变得不方便了。遇到就种情况时,我们就采用:
(14)
来代替导数f ’(xn),这时相应的公式就变成了:

(15)
3、弦割法
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求解的过程是:首先按x的等距离间隔求出它的函数值f(x),直到相邻的两个函数值f(xn)和f(xn+1)具有相反的符号为止。
即: f(xn)f(xn+1)<0
因为对于连续的函数而言,这种函数值的不同就指明了根值的存在。这时用下列式子求出xn和xn+1的中间值xmid

然后,再求出点xmid的函数值f(xmid),若f(xmid)与f(xn)同号就以f(xmid)代替f(xn),否则就以f(xmid)代替f(xn+1)。
4 、二元搜索法
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首先按x的等距离间隔求出它的函数值f(x),直到相邻的两个函数值f(xn)和f(xn+1)具有相反的符号为止。
即: f(xn)f(xn+1)<0