动力学建模方法与解法总结.docx

目录
1 刚体系统 2
2 弹性系统动力学 2
3 高速旋转体动力学 2
1 刚体系统
一般力学研究的对象,是由两个或两个以上刚体通过铰链等约束联系在一起的力学系统,为一般力学研究对象。自行车、万向支架陀螺仪通常可看成多刚体系统。人体在某种意义上也可简化为一个多刚体系统。现代航天器、机器人、人体和仿生学中关于动物运动规律的研究都提出了多刚体系统的一系列理论模型作为研究对象。多刚体系统按其内部联系的拓扑结构,分为树型和非树型(包含有闭链);按其同外界的联系情况,则有有根和无根之别。利用图论的工具可以一般地分析多刚体系统的构造,建立系统的数学模型和动力学方程组。也可从分析力学中的高斯原理出发,用求极值的优化算法直接求解系统的运动和铰链反力。依照多刚体系统动力学的理论和方法,广泛采用电子计算机对这些模型进行研究,对于精确地掌握这些对象的运动规律是很有价值的。
自由物体的变分运动方程
任意一个刚体构件,质量为,对质心的极转动惯量为,设作用于刚体的所有外力向质心简化后得到外力矢量和力矩,若定义刚体连体坐标系的原点位于刚体质心,则可根据牛顿定理导出该刚体带质心坐标的变分运动方程:
(1-1)
其中,为固定于刚体质心的连体坐标系原点的代数矢量,为连体坐标系相对于全局坐标系的转角,与分别为与的变分。
定义广义坐标:
(1-2)
广义:
(1-3)
及质量矩阵:
(1-4)
体坐标系原点固定于刚体质心时用广义力表示的刚体变分运动方程:
(1-5)
束多体系统的运动方程
考虑由个构件组成的机械系统,对每个构件运用式(1-5),组合后可得到系统的变分运动方程为:
(1-6)
若组合所有构件的广义坐标矢量、质量矩阵及广义力矢量,构造系统的广义坐标矢量、质量矩阵及广义力矢量为:
(1-7)
(1-8)
(1-9)
系统的变分运动方程则可紧凑地写为:
(1-10)
对于单个构件,运动方程中的广义力同时包含作用力和约束力,但在一个系统中,若只考虑理想运动副约束,根据牛顿第三定律,可知作用在系统所有构件上的约束力总虚功为零,若将作用于系统的广义外力表示为:
(1-11)
其中:
, (1-12)
则理想约束情况下的系统变分运动方程为:
(1-13)
式中虚位移与作用在系统上的约束是一致的。
系统运动学约束和驱动约束的组合如式(1-10),为:
(1-14)
对其微分得到其变分形式为:
(1-15)
式(1-13)和(1-15)组成受约束的机械系统的变分运动方程。
为导出约束机械系统变分运动方程易于应用的形式,运用拉格朗日乘子定理对式(1-13)和(1-15)进行处理。
拉格朗日乘子定理:设矢量,矢量,矩阵为常数矩阵,如果有:
(1-16)
对于所有满足式(1-84)的条件都成立。
(1-17)
则存在满足式(1-85)的拉格朗日乘子矢量。
(1-18)
其中为任意的。
在式(1-13)和(1-15)中,,,,,运用拉格朗日乘子定理于式(1-13)和(1-15),则存在拉格朗日乘子矢量,对于任意的应满足:
(1-19)
由此得到运动方程的拉格朗日乘子形式:
(1-20)
式(1-20)还必须满足式(1-10)、(1-12)和(1-14)表示的位置约束方程、速度约束方程及加速度约束方程,如下:
(1-21)
, (1-22)
, (1-23)
以上三式其维数同式(1-14)。
式(1-20)、(1-21)、(1-22)和(1-23)组成约束机械系统的完整的运动方程。
将式(1-20)与(1-23)联立表示为矩阵形式:
(1-24)
式(1-24)即为多体系统动力学中最重要的动力学运动方程,式(1-24)还必须满足式(1-22)和(1-23)。它是一个微分——代数方程组,不同于单纯的常微分方程组问题,其求解关键在于避免积分过程中的违约现象,此外,还要注意DAE问题的刚性问题。
如果系统质量矩阵是正定的,并且约束独立,那么运动方程就有唯一解。实际中的系统质量矩阵通常是正定的,只要保证约束是独立的,运动方程就会有解。
在实际数值迭代求解过程中,需要给定初始条件,包括位置初始条件和速度初始条件。此时,如果要使运动方程有解,还需要满足初值相容条件,也就是要使位置初始条件满足位置约束方程,速度初始条件满足速度约束方程。对于由式(1-24)及(1-21)、(1-22)确定的系统动力学方程,初值相容条件为:
(1-25)
(1-26)
正向动力学分析、逆向动力学分析与静平衡分析
对于一个确定的约束多体系统,其动力学分析不同于运动学分析,并不需要系统约束方程的维数等于系统广义坐标