鸡兔同笼巧解.docx

鸡兔同笼类问题中的各种解法分析
1. 典型鸡兔同笼问题详解
例1 鸡兔同笼是我国古代的著名趣题。大约在1500年前,《孙子算经》中就记载着“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”翻译成通俗易懂的内容如下:
鸡兔共有35个头,94只脚,问鸡兔各有多少只?
对于这一类问题,总共几种理解方法。
(1)站队法
将所有的鸡兔都列队站好,鸡和兔子都听哨子指挥。那么,吹一声哨子让所有动物抬起一只脚,笼中站立的脚:
94-35=59(只)
那么再吹一声哨子,然后再抬起一只脚,这时候鸡两只脚都抬起来就一屁股坐地上了,只剩下用两只脚站立的兔子,站立脚:
59-35=24(只)
兔:
24÷2=12(只)
鸡:
35-12=23(只)
(2)松绑法
由于兔子的脚比鸡的脚多出了2个,因此把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚。那么,兔子就成了2只脚。则捆绑后鸡兔脚的总数是
35×2=70(只)
比题中所说的94只要少
94-70=24(只)。
现在,我们松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增加2只,即
70+2=72(只)
不断地一个一个地松开绳子,总的脚数则不断地增加2,2,2,2……,一直继续下去,直至增加了24,因此兔子数:
24÷2=12(只)
从而鸡有
35-12=23(只)
(3)替代法
实际上替代法的做题步骤跟上述松绑法相似,只不过是换种方式进行理解。
假设笼子里全是鸡,则应有脚70只。而实际上多出的部分就是兔子替换了鸡所形成。每一只兔子替代鸡,则增加每只兔脚减去每只鸡脚的数量。
兔子数=(实际脚数-每只鸡脚数´鸡兔总数)¸(每只兔脚数-每只鸡脚数)
与第一种相似,假设笼子里全是兔,则应有脚120只。而实际上不足的部分就是鸡替换了兔子所形成。每一只鸡替代兔子,则减少每只兔脚减去每只鸡脚的数量。
鸡数=(每只兔脚数´鸡兔总数-实际脚数)¸(每只兔脚数-每只鸡脚数)
将上述数值代入方法(1)可知,兔子数为12只,鸡数为23只。
将上述数值代入方法(2)可知,鸡数为23只,兔子数为12只。
由计算值可知,两种替代方法得出的答案完全一致,只是顺序不同。由替代法的顺序不同可知,如果题目问的是鸡的个数,则可以先假设全是兔子,可以一步换出鸡数;反之,如果题目问的是鸡的个数,则可以假设全是兔,减少计算步骤。
(4)方程法
随着年级的增加,会开始接触方程思想,这个时候困扰已有的鸡兔同笼问题运用方程思想则变得十分简单。
第一种是一元一次方程法。
解:设兔有x只,则鸡有(35-x)只
4x+2(35-x)=94
4x+70-2x=94
x=12
从而计算出鸡数为
35-12=23
第二种是二元一次方程法。
解:设鸡有x只,兔有y只。
则存在着关系式
x+y=35
2x+4y=94
解方程式可知兔子数为
y=12
则可计算鸡数为
x=23
以述四种方法就是这一典型鸡兔同笼问题的四种不同理解和计算方法,在没有接触方程思想之前,用前三种方式进行理解。在接触方程思想之后,则可以用第四种方法进行学****br/>2. 鸡兔同笼问题的衍生(非方程思想)
例2 现有100千克的水装了共60个的矿泉水瓶子中。大