第六章4正定二次型和正定矩阵.ppt

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§4 正定二次型和正定矩阵
一、基本概念
二、正定矩阵的充分必要条件
三、正定矩阵的性质
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一、基本概念
定义设A为实n阶对称矩阵,如果对于任意非零向量X,二次型f=XTAX均为正数,则称二次型f为正定的,其矩阵A 称为正定矩阵.
定义如果对于任意向量X,二次型f=XTAX均为非负(非正)数,则称二次型f为半正(负)定的,其矩阵A 称为半正(负)定矩阵.
定义如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二次型是不定的.
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例
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二、正定矩阵的充分必要条件
定理实对称矩阵A正定的充分必要条件是其特征值都是正数.
,使得 QTAQ= , 为对角矩阵,其对角线元素为, 对于令
即,显然又故
这就证明了条件的充分性.
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设A是正定矩阵,而是其任意特征值, X是属于的特征向量, 则有
于是
必要性得证.
推论若A是正定矩阵,则|A|>0.
证明
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定理实对称矩阵A负定的充分必要条件是其
特征值都是负数.
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例判断下列矩阵是否为正定矩阵
解
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> > E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);A:=matrix([[6,-2,2],[-2,5,0],[2,0,7]]);f:=det(lambda*E-A);f_factor:=factor(f);
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例设A为n阶实对称矩阵,且满足证明A为正定矩阵.
证明设为A的特征值,则为
的特征值,故
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