双因素方差分析.ppt

第八章方差分析和回归分析
在工农业生产中产量的高低、质量的优劣,经济管理中效果的好坏等,往往是由许多因素所至。这就要从众多因素中找出主要因素,分析该因素处在何种状态时,使产量高、质量优、管理效果好。要解决这类问题:
一、设计一个试验(试验设计);
二、如何分析多因素多状态下试验结果的差异性?
当两个总体方差相等时,可用 t 检验来检验两个总体均值间的差异性;当总体是三个或三个以上时如何检验呢?就要用本章的方差分析。它是在二十世纪20 。
由于试验设计不同,方差分析的方法也有所不同。本章重点介绍单、双因素方差分析。
方差分析的作用:从方差的角度分析试验数据、判断各因素各状态对试验结果影响大小。
例1 检验某种激素对羊羔增重的效应。选用3个剂量进行试验,加上对照(不用激素)在内,每次试验要用4只羊羔,若进行4次重复,则共需要16只羊羔。研究激素用量对羊羔增重的影响是否显著。
羊羔的增重(kg/每头/每200日)
试验中,我们所关心的指标,即羊羔的增重数量,称为试验指标或响应值;影响增重数量(响应值)的指标是激素,称为因素;激素用量(因素的状态)称为因素的水平或简称水平。本例中有1个因素,4个水平,故称为单因素试验。
几个概念
处理
重复
1(对照)
2
3
4
1
47
50
57
54
2
52
54
53
65
3
62
67
69
74
4
51
57
57
59
在方差分析中,通常取1-3个因素进行研究。因素的每一个状态称为一个水平,水平可以是数量化的,也可以是定性的。
例1为单因素四水平试验。也就是四个总体的比较问题。
本例中有一因素(激素, 记为A) 四个不同水平(分别记为A1, A2, A3, A4)。可认为一个激素水平的增重量就是一个总体,在方差分析中总假定各总体独立地服从同方差的正态分布,即第j个激素水平的增重量是一个随机变量,它服从分布N(j , 2) i=1, 2, 3, 4.
要检验假设
若拒绝H0,我们就认为这四个激素水平的平均增重量之间有显著差异;反之,就认为各激素水平间增重量的不同是由随机因素引起的。
方差分析是检验同方差的若干正态母体均值是否相等的一种统计分析方法。

例2 一批由同种原料织成的同一种布,用不同染整工艺处理,然后进行缩水率试验,考察染整工艺对缩水率的影响,在其它条件尽可能相同时,测得缩水率(%)如下表。
水平
重复
A1
A2
A3
A4
A5
1
(x11)
(x12)
(x13)
(x14)
(x15)
2
(x21)
(x22)
(x23)
(x24)
(x25)
3
(x31)
(x32)
(x33)
(x34)
(x35)
4
(x41)
(x42)
(x42)
(x44)
(x45)
由于xij~N(j , 2) ,所以假定xij具有下述数据结构式:
其中ij~N(j , 2)且相互独立。要检验的假设是:
一般地,设单因素试验中,因素A有k个水平(总体),记为A1,A2,…,Ak,相应的响应值(试验结果)X1,X2,…,Xk 是 k个相互独立的总体,且Xj~N(j, 2)( j =1, 2, …, k)。今对第j个总体进行nj次重复观测,得到nj个观测数据xij(i=1, 2, …, nj ),这可以看成是取自Xj的一个容量为nj的样本。
这里,并不要求n1, n2, …,nk完全相同。
观测数据及计算列表如下。
单因素方差分析数据及计算表
由于xij~N(j , 2) ,所以假定xij具有下述数据结构式:
其中ij~N(0 , 2)且相互独立。要检验的假设是:
为了方便起见,把参数的形式改变,并记
称μ为一般平均,j为因素A的第j个水平Aj的效应,容易看出,k个效应满足关系式:
单因子方差分析模型中的数据结构式可以写成:
xij=+j+ij, j=1,2,…,k; i=1,2,…,nj ;
所要检验的假设可以写成:H0: a1=a2=…=ak=0
引起诸xij波动的原因有两个:一个是假设H0为真时,xij的波动纯粹是随机性引起的;另一个可能是假设不真而引起的。因而我们就想用一个量来刻划诸xij之间的波动,并把引起波动的上述两个原因从中分离出来,用另外两个量表示出来,通过比较这两个量来检验H0的真实性。记
总离差平方和:
它反映了观测数据
总的变异程度