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第三章插值法和最小二乘法
第三章插值法和最小二乘法
§ 插值法
§ 插值多项式中的误差
§ 分段插值法
§ Newton插值
§ Hermite插值
§ 三次样条插值
§ 数据拟合
本章要点用简单的函数(如多项式函数)作为一个
复杂函数的近似,最简单实用的方法就是
插值,而数据拟合则是另外一类的函数近
似问题.
本章主要介绍有关插值法的一些基本概念,
及多项式插值的基础理论和几个常用的插
值方法:Lagrange插值、分段线性插值、
Newton插值、Hermite插值和三次样条插值
在本章的最后介绍了拟合的最小二乘法
本章引例: Hooker定律
弹簧在力F的作用下伸长x,一定范围内服从Hooker 定律:
F与x成正比,即F = kx,k为弹性系数,现在得到下面一组
x, F数据(如表),并在(x, F)坐标下作图(如图).可以看出,
当F达到一定数值后,就不服从Hoo ker
定k ,并给出不服从Hoo ker定律时的近似公式.
x(cm) 1 2 4 7 9 12 13 15 17
F(kg)
25
F

力
20
15
10
5
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
伸长 x
§ 插值法
一、插值问题
对函数f (x),其函数形式可能很复杂,且不利于在计算机上
运算,假如可以通过实验或测量,可以获得f (x)在区间[a,b]
上的一组n + 1个不同的点
a £ x0 < x1 < x2 < L < xn £ b
上的函数值 yi = f (xi ), i = 0,1,2,L,n
能否存在一个性能优良、便于计算的函数
比如多项式函数 P(x), 满足
P(xi ) = yi i = 0,1,2,L,n ------(1)
并且用P(x)近似代替f (x)
这就是插值问题, (1)式为插值条件,
称函数P(x)为函数f (x)的插值函数
如果P(x)为多项式函数,则称之为插值多项式
点 xi , i = 0,1,2,L,n,称为插值节点
区间[a,b]称为插值区间
如函数y = sin x,若给定[0,π]上5个等分点
其插值函数的图象如图
sinxinx的插插值
1
y
y








0
0 1 2 33
xx
对于被插函数f (x)和插值函数P(x)
在节点xi处的函数值必然相等
但在节点外P(x)的值可能就会偏离f (x)
因此P(x)近似代替f (x)必然存在着误差
整体误差的大小反映了插值函数的好坏
为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函
数都使用代数多项式和有理函数
本章讨论的就是代数插值多项式
二、代数插值多项式的存在唯一性
设函数 y = f (x) 在区间[a,b]上的代数插值多项式为
2 n
Pn (x) = a0 + a1x + a2 x + L + an x --------(2)
且满足 Pn (xi ) = yi i = 0,1,2,L,n --------(3)
即多项式Pn(x)的系数a0 ,a1 ,a2 ,L,an满足线性方程组
a + a x + a x2 + L+ a xn = y
ì 0 1 0 2 0 n 0 0
ï a + a x + a x2 +L + a xn = y
í 0 1 1 2 1 n 1 1 --------(4)
ï LLLL
îï 2 n
a0 + a1xn + a2 xn +L + an xn = yn
上述方程组的系数行列式为n+1阶范德蒙(Vandermond)
行列式
2 n
1 x0 x0 L x0
n n­1 n
2 xi ¹ x j
1 x1 x1 L x1
V = = Õ Õ(x j ­ xi ) ¹ 0
L L L L L i=0 j=i+1
2 n
1 xn xn L xn