第10章 随机过程II.pdf

第十章随机过程 II:鞅 1
第十章随机过程 II:鞅

7 基础微积分
7 线性代数

8 概率论
9 随机微积分 10 鞅

11 偏微分方程 11 数值方法

概述 多布-迈耶定理
离散时间 二次变差过程
连续时间 再论随机积分
鞅的例子 鞅变换和随机积分
鞅的子类 简单过程随机积分
停时和鞅型序列 再论伊藤积分
停时定义 测度变换和鞅表示
最优停止定理 直观理解
鞅型序列 拉登-尼科迪姆导数
多布-迈耶分解 哥萨诺夫定理
多布分解定理 鞅表示定理

本章的学****目标为:

了解信息结构和信息一致性的数学表述方式和经济含义

明确鞅的定义(离散和连续),以及连续时间情形下的一些技术性要求

熟悉二项过程和布朗运动等常见鞅和它们的轨道特征

了解鞅的几个重要子类:一致可积鞅和平方可积鞅

了解停时概念和最优停止定理

了解由停止一个鞅产生的局部鞅以及其它鞅型随机过程

了解多布-迈耶分解定理,以及二次变差和协变差过程的概念

了解各种被积函数和积分算子情况下,定义随机积分的方法

掌握随机伊藤积分的定义和主要性质

掌握拉登-尼科迪姆导数的各种形式和性质

掌握凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理,并熟练应用该定理进行测度变换

掌握鞅表示定理,并理解该定理在分析交易策略的可行性和构造完备市场模型
中的作用

鞅这个术语早在 20 世纪 30 年代首先由 Ville(1939)引进,但是其基本概念来自于法国
概率学家列维(Levy,1934)。真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布(Doob),他在 1953
年的名著《随机过程》一书中介绍了(包括上鞅分解问题在内的)他对于鞅理论的系统研究成
果。它随即引起了概率学家们对一般随机过程理论研究的兴趣,并逐渐使得鞅成为现代概率
和随机过程理论的基础。
鞅在微观金融分析中的应用是随着哈里森(Harrison )同克里普斯(Kreps .)1979
年,以及哈里森和帕里斯卡(Pliska .)1981 年两篇经典论文的发表开始的。他们证明了
所谓的资产定价基本定理:当而仅当金融市场上不存在“免费午餐”(free lunch),所有金融
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资产的贴现价格都是一个鞅1。这就使得鞅就成为了现代金融资产定价技术所必须的主流数
学工具。相对于上一章随机微积分而言,由于较多地借助测度理论,鞅显得更加抽象,但令
人惊奇的是,它的引入不仅使得微观金融理论分析(例如期权定价)变得更加简洁和优雅;并
且由于可以借助现代数值计算技术,它还提供了更为强大的运算能力,而这对于实际工作又
是至关重要的。因此今天,鞅方法及其辅助它的强大数值(模拟)技术成为了当今金融理论研
究者和实践工作者必不可缺的基本装备2。
在本章中,我们首先在离散时间下,使用在概率基础一章中接触到的分割、条件数学期
望等概念来严格地给出鞅的定义。在澄清一些技术性要求的基础上,随后给出连续时间鞅的
概念,并提供一些金融分析中常见的鞅的例子来加深理解。
接下来我们考察停时(stopping time)概念,借助它把鞅的性质拓展到其它鞅型序列上去并
获得最优停止定理。然后我们考察了多布-迈耶分解(Doob-Meyer position)定理,
再论随机积分
鞅变换和随机积分
简单过程随机积分
再论伊藤积分
接下来讨论对于现代金融分析至关重要的——等鞅测度变换(equivalent martingale
transformation)和凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理(Cameron-Martin-Girsanov theorem)。只有熟练掌
握并且能够灵活运用这一方法,才能真正领略到现代金融理论的精髓。

概述
“鞅”一词来源于法文 martingale 的意译,原意是指马的笼套或者船的索具,同时也指
一种逢输就加倍赌注,直到赢为止的恶性赌博方法(double strategy)。为了理解它的原意,不
妨来玩一种纸牌游戏。
在 52 张牌中任意抽取一张,如果抽到一张红色的方块或者红心就赢一笔钱,否则就输
掉这笔钱。采用以下