高一数学补集思想在解题中的应用举例（高三）.doc

补集思想在解题中的应用举例
在集合中,大家都知道补集有这样一个性质:,可是你知道它到底有何作用呢?本文将通过几个例题与大家谈谈其作用.
【例1】已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0},若A∩B≠φ,求实数a的取值范围.
分析:本题若直接去解,情形较复杂,也不容易求得正确结果,若我们先考虑其反面,再求其补集,同样也可以求解.
解:易解得A={y|y>a2+1或y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B=
由,得
∴或.
即A∩B=φ时a的范围为或,而A∩B≠,易知所求范围为.
【点评】一般地,我们在解题时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集求得其解,这就是“补集思想”.
【例2】若下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,试求实数a的取值范围.
分析:本题的正面有七种情形需要考虑,而其反面只有一种,即“三个方程均无实根”.故先考虑其反面是捷径.
解:若三个方程均无实根,则有
.设A=.于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围为
【例3】若x、y、z均为实数,且,求证:
a、b、c中至少有一个大于0.
分析:本题直接证明不仅情形较多,,则就能肯定其正面成立.
证明:假设a、b、c均小于等于0,则a+b+c≤0,
又a+b+c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立,
∴假设错误,故原命题成立,即a、b、c中至少有一个大于0.
【点评】本题实际是一种反证法,反证法从