泊松过程.ppt

泊松过程
泊松过程的定义
泊松过程的基本性质
泊松冲激序列
散粒噪声
非齐次泊松过程
复合泊松过程
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引言
[(0-1)分布] 随机变量 X 只可能有两个值: 0 和 1,其概率分布为:
[二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的次数,则 X ~ B (n, p)
[泊松定理] 在二项分布中,设 np=是常数,则有
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泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, …,而取各个值的概率为
则随机变量X 服从参数为的泊松分布,简记为()。
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1 泊松过程的定义
[定义] 称{ N (t), t 0 } 为计数过程,若N (t)表示到时间t 为止已发生的“事件A”的总数,且N (t)满足下列条件:(1) N (t)  0 ,且 N (0) = 0 ; (2) N (t) 取非负整数值;(3) 若 s < t ,N (s)  N (t) ;(4) 当s < t 时, N (t)  N (s)等于区间(s, t] 中“事件A”发生的次数。
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泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数的泊松过程,若它满足下列条件:(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程;(3) (平稳性)在任一长度为 t 的区间中,事件A发生的次数服从参数>0的泊松分布,即对任意 s , t 0 ,有
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泊松过程的另一个定义
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数>0 的泊松过程,若它满足下列条件:(1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程;(3) X (t) 满足下列两式:
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泊松过程的几个例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示电话交换台在[0, t] 时间内收到的呼叫次数,则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。
考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为时间[0, t] 内到达售票窗口的旅客数,则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。
考虑机器在(t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t, t+h] 内机器发生故障而停止工作的事件数构成一个随机点过程,它可以用泊松过程来描述。
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2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
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(1) 泊松过程的数字特征
均值函数
方差函数
相关函数
协方差函数
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(2) 时间间隔与等待时间
设{X (t), t  0 }是泊松过程,令X (t)表示 t 时刻事件A发生的次数,
T1
T2
T3
Tn
0
W1
W2
W3
Wn-1
Wn
t
Wn ——第n次事件A发生的时刻,或称等待时间,或者到达时间
Tn ——从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔,或称第n个时间间隔
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