不等式恒成立问题中的参数求解技巧.doc

在不等式中,有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题,涉及的知识面广,综合性强,同时数学语言抽象,如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定,难以寻觅,是同学们学****的一个难点,同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有:①用一元二次方程根的判别式,②参数大于最大值或小于最小值,③变更主元利用函数与方程的思想求解。本文通过实例,从不同角度用常规方法归纳,供大家参考。一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决。 例1对于x∈R,不等式恒成立,求实数m的取值范围。 解:不妨设,其函数图象是开口向上的抛物线,为了使,只需,即,解得。 变形:若对于x∈R,不等式恒成立,求实数m的取值范围。 此题需要对m的取值进行讨论,设。①当m=0时,3>0,显然成立。②当m>0时,则△<0。③当m<0时,显然不等式不恒成立。由①②③知。 关键点拨:对于有关二次不等式(或<0)的问题,可设函数,由a的符号确定其抛物线的开口方向,再根据图象与x轴的交点问题,由判别式进行解决。 例2已知函数,在时恒有,求实数k的取值范围。 解:令,则对一切恒成立,而是开口向上的抛物线。 ①当图象与x轴无交点满足△<0,即,解得-2<k<1。②当图象与x轴有交点,且在时,只需由①②知关键点拨:为了使在恒成立,构造一个新函数是解题的关键,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。二、参数大于最大值或小于最小值 如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量x的关系,则可以利用函数的单调性求解。恒成立,即大于时大于函数值域的上界。恒成立,即小于时小于函数值域的下界。 例3已知二次函数,如果x∈[0,1]时,求实数a的取值范围。 解:x∈[0,1]时,,即 ①当x=0时,a∈R②当x∈时,问题转化为恒成,由恒成立,即求的最大值。设。因为减函数,所以当x=1时,,可得。由恒成立,即求的最小值。设。因为增函数,所以当x=1时,,可得a≤0。由①②知。关键点拨:在闭区间[0,1]上使分离出a,然后讨论关于的二次函数在上的单调性。例4若不等式在x∈[1,2]时恒成立,试求a的取值范围。解:由题设知,得a>0,可知a+x>1,所以。原不等式变形为。,即。又,可得恒成立。设,在x∈[1,2]上为减函数,可得,知。综上知。关键点拨:将参数a从不等式中分离出来是解决问题的关键。例5是否存在常数c使得不等式,对任意正数x、y恒成立?试证明你的结论。解:首先,欲使恒成立(x、y>0),进行换元令。∴上述不等式变为,即恒成立。寻求的最小值,由a>0,b>0,利用基本不等式可得。同理欲使恒成立,令,得∴上述不等式变为,即。寻求的最大值,易得。综上知存在使上述不等式恒成立关键点拨:本题是两边夹的问题,利用基本不等式,右边寻找最小值,左边寻找最大值,可得c=三、变更主元在解