平方根立方根.doc

平方根算术平方根立方根三说王峰一、平方根、算术平方根、、算术平方根的概念与性质如果一个数x的平方等于a(即),那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根),记作:,这里a是x的平方数,故a必是一个非负数即;例如16的平方根是±4,从定义还可得出:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根只有一个0,即为它本身。正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,表示为,例如16的算术平方根是,从定义中容易发现:算术平方根具有双重非负性:①;②。、算术平方根的区别与联系区别:①定义不同;②个数不同;③表示方法不同;④取值范围不同:平方根可以是正数、负数、零,而算术平方根只能取零及正数,即非负数。联系:①它们之间具有包含关系;②它们赖以生存的条件相同,即均为非负数;③0的平方根以及算术平方根均为0。(即),那么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根),记作:。立方根的性质:正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数。二、。错解:的平方根是剖析:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,而是一个正数,故它的平方根应有两个即±3。。错解:的算术平方根是3剖析:本题是没有搞清题目表达的意义,错误的认为是求9的算术平方根,因而导致误解,事实上本题就是表示的9的算术平方根,而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。,而3的算术平方根为,故的算术平方根应为。仿此你能给出的平方根的结果吗?三、:是算数平方根,是立方根,求的平方根。分析:由算术平方根及立方根的意义可知联立<1><2>解方程组,得:代入已知条件得:所以故M+N的平方根是±。,求的算术平方根与立方根。分析:由已知得联立<1><2>解方程组,得:所以因而的算术平方根与立方根分别为。,求的值。分析:由平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,因而可构造方程,解得从而评注:本题利用平方根的性质,构造一元一次方程,先求出其平方根,再进一步求出a,解法可谓简捷明了,令人耳目一新。事实上方程思想是初中阶段一种重要的数学思想方法,应引起同学们高度重视。。分析:要比较的大小,必须搞清a的取值范围,由知,由知,综合得,此时仍无法比较,为此可将a的取值分别为①;②;③三种情况进行讨论,各个击破。当时,取则,显然有当时,当时,仿①取特殊值可得评注:本题的解答用到了分类讨论的思想,所谓分类思想就是根据问题的需要将涉及的对象按一定的标准分成若干类,然后再逐类讨论求解的思维方法。分类要遵循三条原则:①标准统一;②任何两种情况不重复;③每一种情况都不能遗漏。,求的值。分析:观察表达式中的隐含条件,被开方数应为非负数即,亦即,故原已知式可化为:、y、m适合关系式,试求m的值。分析:观察等式的右边的两个表达式的被开方数互为相反数,再结合只有非负数才有算术平方根,因而必有所以。原已知式可化为:再变形得:将代入(*)得:由算术平方根的非负性,再根据“若干个非负数的和为零,则其中每一个非负数均为零”,可得解这个方程组得:评注:抓住题目中隐含的&#0;&#0;