2009年第50届国际数学奥林匹克竞赛试题（中文版）与参考答案.pdf

蕴秀斋
2009 年第 50 届 IMO 解答
2009 年 7 月 15 日

1、 n 是一个正整数, aa12, ,...,ak (k≥ 2) 是{1,2,...,n} 中的不同整数,并且 naii(1a+1 −)对
于所有 i=1, 2,...,k−1都成立,证明: aak (1 −1)不能被 n 整除。
n
证明 1:由于 na(a −1),令(,na)= p, q = 也是整数,则 n= pq,并且 p a ,
12 1 p 1
qa2 −1。因此(,qa2 )=1,由于 np= qa23(a−1),故 qa3 −1;同理可得 qa4 −1,。。。,
因此对于任意 i ≥ 2 都有 qai −1,特别的有 qak −1,由于 p a1 ,故 np= qa1(ak −1)(*)。
若结论不成立,则 np=qak (a1 −1),与(*)相减可得 na(k − a1),矛盾。
综上所述,结论成立。




此题平均得分: 分
上善若水
蕴秀斋
2、∆ABC 外接圆的圆心为 O , PQ, 分别在线段 CA, AB 上, K,,LM分别是 BPC,,QPQ
的中点,圆Γ过 K,,LM并且与 PQ 相切。证明: OP = OQ 。
A
P
M
K
Q
O
L
B C

证明:由已知∠=MLK ∠KMQ =∠AQP , ∠MKL =∠PML =∠APQ ,因此
AP MK BQ
∆APQ ∼∆MKL 。所以==,故 APC⋅ P=⋅AQBQ(*)。
AQ ML CP
设圆 O 的半径为 R ,则由(*)有 R22−=OP R2−OQ2,因此 OP = OQ 。
不难发现 OP = OQ 也是圆Γ与 PQ 相切的充分条件。




此题平均得分: 分

上善若水
蕴秀斋
3 、 SS, , S,... 是严格递增的正整数数列,并且它的子数列 SS, , S,... 和
123 SS12S3
SS,,S,...都是等差数列。证明: SS, , S,... 是一个等差数列。
SS12++11S3+1 123
++
问题等价于: f : Z→ Z是一个严格递增的函数。 bfn = ( f()n) 是一个等差数列,
cfn =(f()n+1)也是一个等差数列。证明: afn = (n)也是等差数列。
证明:由于 f 是一个严格递增的整值函数,所以对于任意 xy, 均有
f ()xf−≥(y) x−y。
令{bn},{cn}的公差分别为 d,e,则有 df=+( f(1n)) −f( f(n)) ≥f(n+1)−f(n),
+
将 nf→(n)可得 df≥+()f()n1−f( f(n)) =cnn−b>0,因此对于任意 k∈ Z都有
dc≥−=11++kkb (c1−b1) +k(d−e) >0
故只能有 d= e,也即两个等差数列公差相等,故可设 cbnn−= g是一个为常数。
由于 df≥+(1n)−f(n)>0有界,故 fn(1+ )− fn()有最大最小值,设 M , m 分别是
fn(1+−)fn()的最大、最小值。则