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文档介绍
基本不等式应用证明不等式
例题 1 已知: , 求证: .
方法一:作差比较法
作差:
∵, , , ,
∴,
∴成立.
方法二:作商比较法
∵, ∴,
作商: ,
∵, , ∴,
∴成立.
方法三:分析法
∵, ∴,
欲证,
只需证,即证
1
只需证: , 即证:
∵, ∴,
∴
∴成立.
方法四:综合法
∵∴,
∴, ∴,
∴, ∴,
两边除以得: 成立.
例题 2 已知: ,求证:
证明:∵,∴
即,
两边开方得:
同理可得,
三式相加,得:
【变式 1】已知 a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,至少有一个不大于.
证明:反证法
假设原结论不成立,即,
则三式相乘有: ……①
2
又∵0<a,b,c<1, ∴.
同理有: ,
以上三式相乘得,这与①矛盾,
∴假设错误,原结论成立.
说明:数学问题中的“至少有一个”“假
设——矛盾——肯定”,采用反证法证明不等式时,从与结论相反的假设出发,推出矛盾的
过程中,每一步推理都必须是正确的.
3
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例题 1 已知: , 求证: .
方法一:作差比较法
作差:
∵, , , ,
∴,
∴成立.
方法二:作商比较法
∵, ∴,
作商: ,
∵, , ∴,
∴成立.
方法三:分析法
∵, ∴,
欲证,
只需证,即证
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只需证: , 即证:
∵, ∴,
∴
∴成立.
方法四:综合法
∵∴,
∴, ∴,
∴, ∴,
两边除以得: 成立.
例题 2 已知: ,求证:
证明:∵,∴
即,
两边开方得:
同理可得,
三式相加,得:
【变式 1】已知 a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,至少有一个不大于.
证明:反证法
假设原结论不成立,即,
则三式相乘有: ……①
2
又∵0<a,b,c<1, ∴.
同理有: ,
以上三式相乘得,这与①矛盾,
∴假设错误,原结论成立.
说明:数学问题中的“至少有一个”“假
设——矛盾——肯定”,采用反证法证明不等式时,从与结论相反的假设出发,推出矛盾的
过程中,每一步推理都必须是正确的.
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