自动控制第八章系统定性分析1.doc

第八章系统的定性性分析定性分析则是研究系统的一般特性。对此我们一点也不觉得陌生,因为在古典控制理论中我们对系统的稳定性这个很重要的一般特性,进行过较多讨论。在现代控制理论中,我们除了进一步讨论系统的稳定性之外,还要涉及一些新的概念,如能达性(Reachability)、能观性(Observability);能控性(Controllability),能构性(Constructibility);能稳定性(Stabilizability),能检测性(Detectability)等等,对系统的这些特性进行定性分析,对于分析、特别是设计系统有着很重要的实际意义。本章我们先讨论我们较为熟知的稳定性。§,都有运动的稳定性的问题。不稳定的系统在实践中是没有用的。所谓运动稳定性理论,就是研究某些确定的或随机的干扰作用对系统运动状态的影响,看其是否能耐受这种干扰的影响以保持预定的工作状态,从而建立一套准则来判别运动状态是稳定的或不稳定的。在进行古典控制理论的学****时,就曾多次讨论过系统的稳定性问题时用劳思(Routh)判据、奈奎斯特(Nyquist)判据来分析线性系统的稳定性,我们已经相当熟练,但若系统是非线性的或是时变的,上述一些稳定性判据就显然有点爱莫能助,尽Nequist判据可用于某些特殊类型的非线性系统,但描述函数法对于确定系统的稳定性是近似的,而建立在相平面法基础之上的稳定性分析也只能用于低阶系统。线性系统的响应总可以分解为零状态响应和零输入响应之和****惯上对两种响应的稳定性分别研究。对于零状态响应,我们将介绍BIBO(Bounded-InputBounded-Output,有界输入有界输出)稳定性;对零输入响应,我们将介绍限界稳定性和渐近稳定性。我们将主要讨论线性定常的情况。。以单输入单输出的线性定常系统为例,其零状态输出响应可写作(其中是施加在系统输入端的激励信号,是在输入激励下系统输出端的响应信号;是系统的脉冲响应函数,对于一般的时变系统,脉冲响应函数是二元函数,表示τ时刻施加的输入在t时刻引起的响应,当系统是定常系统时,脉冲响应函数退化为单变量函数,表示初始时刻施加的理想脉冲输入在t时刻所引起的输出,而τ时刻施加的输入在t时刻引起的响应自当记为。当然,这样描述的系统必须是线性的、因果的、初始时刻松弛的。再复****一下函数有界的概念。输入称作是有界的是指不会发展到正无穷或负无穷,或等价地说,(界输入有界输出稳定)是指:系统在每一个有界的输入信号激励下所引起的输出响应都是有界的。该稳定性是定义在零状态响应之上,即仅当系统初始松弛时才能使用。(SISO)系统(,BIBO稳定的充要条件是其脉冲响应函数在[0,+∞]上绝对可积,即存在某正常数M,使证明:首先我们证明:如果是绝对可积的,则每一个有界输入都引起有界输出。设为一任意有界输入,即对所有t≥0有,则所以输出是有界的。下面,我们从直观上来证明,若g(t)不是绝对可积的,则系统就非BIBO稳定。若g(t)不是绝对可积的,则存在t1使得我们选择显然u是有界的,而由此输入所引起的输出等于它不是有界的,所以该系统不是BIBO稳定的,。[证毕]还要指出的是:函数绝对可积并不意味着有界,也不意味着当t→∞时趋于零。,BIBO稳定的充要条件是的所有极点都具有负实部,或等价地说,位于开左半s平面。若有mi重极点pi,则其部分分式展开式中含有如下各项:于是,的拉氏反变换或脉冲响应式会有如下各项:可以直接验证,每一个这样的模态绝对可积的充要条件是pi有负实部,用此事实我们可以建立上述定理。【例8-1】若系统BIBO稳定且其传递函数为,试证明:当t→∞,输出响应趋于a;,则输出响应趋于证明:若t≥0时总有u(t)=a,则式(其中g(t)是的拉普拉斯反变换,又因它意味着,当t→∞时这就证明了第一个结论。而当时,(于是,我们有,当t→∞时 若g(t)是绝对可积的,我们可在拉氏变换分定义式中以jw替代s,从而得到因脉冲响应g(t)是实函数,于是有其中Re,In分别表示实部和虚部,将它们代入(这就完成了所要的证明。[证毕],BIBO稳定的充分条件是系统的所有特征值都具有负实部。上一节我们讨论了系统的外部稳定性,即BIBO稳定性,它是定义在零状态响应之上的。现在我们来研究系统的内部稳定性,即由其非零初态所引起的零输入响应之上的稳定性问题。重点介绍李雅普诺夫稳定性理论。李