4 向量空间.ppt

第四节向量空间
前面我们已经探讨了向量组能表示一个给定向量的充分
必要条件,
事实上一个向量组所能表示的所有向量就是
一个有趣的问题是:“什么样的向量组其所能表示是
的向量只是这个向量组中的向量”.
思考这样的向量组
应具备什么样的特征.
向量组中的向量的所有线性组合.
一向量空间及子空间的概念
定义1 设V是一个非空向量集合,如果
(1)
(2)
有
有
称V是一个向量空间(或线性空间)
注
(1)满足(1) (2)的 V称为对线性运算是封闭的,
即向量空间是特殊的向量组:
“对线性运算是封闭的”
(2)
有
有
即向量空间是满足:“其中任何一个向量组的线性组合
都在其中的向量集合”
例1
向量集合
是一个向量空间(请证明),
为n维向量空间,
仍记作
我们称它
注意我们把
看成向量集合与看成向量空间的区别.
思考:
(1)任何一个向量空间必含有
零向量
(2)R上的向量空间含有多少个向量
(Ⅰ)要么一个
(Ⅱ)要么无穷多个
(证明其为向量空间,称为零空间);
定义2 设V是向量空间V*的一个非空子集,
运算是封闭的,则称V是V*的一个子空间.
如果V对线性
注:
(1)子空间中空间的含义是V自身是就一个向量空间.
子的含义是它是另一个向量空间的子集
(2)通常证明向量集合是子空间
“只需要证明向量集合对线性运算是封闭的”
(3)任何向量空间V必有两个子空间
自身V和
零空间.
统称为向量空间V平凡子空间
定理1
设V是
的一个非空子集,那么
V是
的子空间
有
例2
任何n维实向量所形成的向量空间都是
的子空间
例3 判定下面集合是否是子空间
例3 判定下面集合是否是子空间
证明:
设对
故可设
所以
故
所以
是子空间
例3 判定下面集合是否是子空间
证明:
设对
故可设
且
故
所以
是子空间
故
例4
给定两个n维向量
则
的所有线性
组合构成的集合
是一个向量空间
一般地向量组
的所有线性组合构成的集合
是一个向量空间.
证明:
设对
故可设
故
即
所以
向量空间
二生成空间
定义3
中的向量组
的所有线性组合
构成的向量空间V称为由此向量组生成的空间,
记作
即
注:
是包含
的最小的
向量空间.