平面曲线对称性的判别方法学士学位论文.docx

毕业论文
平面曲线对称性的判别方法
目录
1引言 1
2平面曲线对称性定义 1
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3平面曲线对称性判定 4
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关于点对称 1
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4结束语 16
参考文献 1
致谢 1
平面曲线对称性的判别方法
数学系本0802班冯文平
指导教师:兰旺森
摘要:平面曲线的对称性对于函数研究具有重要意义。利用函数的奇偶性和导数的有关概念,推导出几个用导数的方法判定函数图像对称性的结论,并通过实例验证了这些结论对判断一般曲线的对称性是方便可行的。本文给出了平面曲线轴对称与点对称的定义和判定定理,指出可以用类似求一元函数极值和拐点的办法判定曲线的对称轴和对称中心,从而平面曲线的对称性可以归结为导数应用问题。
关键词:平面曲线,对称性,直角坐标方程,参数方程,极坐标方程。
Determine of plane curve’s symmetry
FengWenping
Class 0802, Mathematics Department
Tutor: LanWangsen
Abstract:Symmetry of plane curve is important to function research. With the relevant concepts about parity of function and derivative, the paper is designed to deduce several conclusions that can measure the symmetry of general curve by derivative method, and test and verify these conclusions are convenient and workable though living examples. This article includes the definition andtheorem of exial symmetry and center symmetry, and also points out that thedetermine of symmetry axisand center of symmetry is similar to calculating extremum and inflexion point of function. So determine ofplane curve’s es down to the application of derivative.
Key words:plane curve, symmetry, rectangular coordinate system, parametric equation, polar coordinates equation.
1引言
平面曲线对称性这部分知识,渗透在数学的各部分内容中,有着十分广泛的应用。对称性是函数的一条十分重要的性质,应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,这对同学们将所学数学中复杂的知识简单化,起到了很大的作用,对学生的逻辑思维能力和数形结合思想有较高的要求。
平面曲线对称性对函数的研究具有重要的意义。在高等数学和数学分析的教学中,涉及到求由直角坐标方程、参数方程和极坐标方程表示的曲线所围成区域的面积,很多时候我们需要知道区域的对称性,以便简化计算。通常我们要画出函数的图像再来确定其对称性,这样既麻烦而且其对称性的得出也不规范。本文将探讨这三种方程所表示的函数曲线对称性的一般方法。本文给出平面曲线轴对称和点对称的定义和判定定理。
2平面曲线对称性定义

定义1 设曲线的直角坐标方程为,若存在,使得
或①
恒成立,则称曲线对称于直线,并且称直线为曲线的对称轴。
定义2 设曲线的直角坐标方程为,若存在曲线上的点,使得:
或②
恒成立,则称曲线对称于点,并且称点为曲线的对称中心。
特殊:当时,①式可变为;当时,②式可变为
。这便是所说的“偶函数对称于轴,奇函数对称于原点”。
例1 函数对一切实数满足,且方程