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基于太阳影子定位的研究数学建模论文.doc

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基于太阳影子定位的研究数学建模论文.doc
文档介绍:
基于太阳影子定位的研究
摘要
本文研究的是在经纬度、日期、时刻、杆长、影长等变量之间建立起量化关系,构建出模型,能够达到在已知一些量的情况下求解出其余的量。
针对问题一:我们先将各个变量之间有数学表达式建立出关系,然后通过球面三角形的运算公式,借助高度角、赤纬角、时角等相关概念求解出实际问题。
针对问题二:由于无法确定题目给出的数据是如何建立坐标系的,所有就考虑到可以通过建立函数关系和拟合曲线的方式来解决问题。首先,根据附件坐标,将与其一一对应的影长计算出来,并将这些数据进行拟合后可以发现影子长度与时间所构成的关系式完全满足二次函数,拟合的相关系数为1。所以由二次函数图象的特殊性,图象的最低点就可以直接取到正午影长。再根据时间差与经度差的关系,就可以直接计算出经度。之后又由于构建了杆长和当地纬度的关系式,进行等量取值后再用matlab软件进行循环处理,每循环一次就可得出一个正午影长,将此时循环得到的影长与之前拟合的影长数进行取差比较,绝对值最小影长对应的纬度就为最后所求的结果。整个思路主要是避免了由于坐标系不确定而带来的误差。
针对问题三:本题求解经度的方式还是同题二大致一样,都是通过拟合影子长度,获得函数曲线,再由时间差求解经度差。对于纬度和日期求解采用的是间隔取值的方法,运用matlab软件进行循环,解出不同时间的影子长度,在于附件二、三中计算的影长做比较,计算方差,由最小方差来确定最合适的解。
针对问题四:本问题中只给了一段视频,所以要通过2D图的坐标转换成3D空间坐标。先假设相机光学中心所在的平面坐标系以及摄像机平面与直杆所在平面的法向量,通过视频间隔时间段截图,获取每幅图上影子端点、直杆与地面的交点以及直杆顶点的二维坐标,通过转换可得到影子端点在像平面的坐标与真实的影子端点的坐标之间的关系,将影子端点在像平面的坐标转换成真实坐标,然后再对数据进行处理得出要求的地点。
最后,我们对模型进行了优缺点分析,以及下一步要进行的工作.
关键词数据拟合;循环计算;Matlab;数图分析;
一、问题重述
A题太阳影子定位
如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面,太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.找出问题中的变量,分析影子长度关于各个参数的变化规律,从而建立影子长度变化的数学模型,并应用建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据附件1中给的顶点坐标数据,通过建立数学模型确定直杆所处的地点,给出若干个可能。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点与日期。
4.附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频,并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。建立确定视频拍摄地点的数学模型,并应用模型给出若干个可能的拍摄地点。最后,如果拍摄日期未知的情况下,尝试根据视频确定出拍摄地点与日期。
二、问题分析
针对问题一:首先要先找到所有的变量,再确定了各个变量之间的关系之后,建立出数学表达式。最后把已知的量带入,计算求解出其余的量。
针对问题二:本题的需要通过将图像与数据相结合的分析方式,才能在坐标系方向不确定的情况下求出经纬度。主要是通过坐标来求出影长,进行曲线拟合后,通过图像的特殊规律来作为切入点。
针对问题三:将附件二和附件三的数据进行处理,运用matlab数据处理软件将处理后的数据拟合出该天的影长变化曲线,以最低点作为切入点,求出所求地点的经度,利用纬度和杆长的关系将杆长用纬度替换,减少变量,以日期为第一变量,纬度为第二变量,分别在北京时间12:41到13:41时及北京时间13:09到14:09时进行循环操作,每次运行都可输出一组影长,再把得出的所有影长与原始数据中影长进行最小二乘法回归拟合,在这两段时间内若对应的拟合结果在一定范围内符合即为可能结果,可能结果对应的日期和纬度就是要求的最优解。
针对问题四:若要对问题更进一步的求解,则需对视频进行处理,进而得出影子端点的真实坐标,再根据得出的真实坐标对目标进行求解。
三、模型假设
假设1:地球在一日当中只考虑自转(即不考虑公转的影响);
假设2:相机光学中心到杆的直线垂直距离保持不变;
假设3:忽略由于风速、太阳光等因素对像素的影响。
四、符号说明
:表示不同测量位置的经度;
:表示不同测量位置的纬度;

:表示不同的测量时刻;
:表示不同的测量日期;
:表示不同的直杆长度;
:表示直杆的影子长度;
: 表示太阳高度角;
:表示赤纬角;
: 表示太阳时角;
:表示真太阳时;
: 表示测量的天数;
:表示正午影长;
五、模型的建立与求解
5.1、问题一的分析与求解:
5.1.1 问题一的概述
生活中常常会遇到这样的情况,傍晚夕阳西下时,人身后的影子会很长,但是在中午太阳最炙热的时候,影子却明显缩短了。即使连续很多天的正午时分站在同一个位置,也会发现身后的影子也会有不同的长度,更别说站在不同的位置了。由此可以总结规律。在测量影子长度时,经纬度、测量日期、时刻和位置都会直接影响影子长度。容易被忽略的是,不管是人的身高还是杆的长度,同样也会对影子的长度造成影响。通过影响光线与地平面的之间的夹角从而间接影响影子的长度,这个角称为高度角。确定了各变量之间的关系之后,就想设法将各量之间的关系量化,由表达式构建出模型。
5.1.2 问题一的模型的建立与求解
5.1.2.1 模型一:影子长度变化的模型
题目要求是解出3米高的直杆的影子长度变化曲线,其关键在于要先确定出9:00-15:00这个时间段中高度角的变化范围。通过查阅文献[1]得知在求解高度角的问题上,通常运用天文学中常见的球面三角形来求解。根据球面三角形的余弦公式,将其中的相关的各角度找关系求出后,最后联立方程,就可推出太阳高度角h的计算公式。再将杆长除以高度角的正切值,就得出影子的长度。
针对模型的具体分析如下:太阳光照射直杆的图像可以简化为图(1)
图(1)
太阳照射直杆后投射出影子,其中太阳光线和地平面的夹角h就是高度角。由图可以看出,求解影子长度的关键是在于把上图构成的直角三角形中的高度角求出。因为杆长是已知条件,所以最后可直接通过杆长除以高度角的正切值,求出影长。
通过查阅文献[1]可以得出,高度角的计算式需要通过运用天文学中常用的球面三角形中边的余弦公式推导求出:球面三角形的任意一边的余弦等于其他两边预选的乘积加上这两边的正弦及其夹角的余弦的连乘积。(球面三角形如图(2))
图(2)
公式表达式为:(以a边为例)
【1】①
另外两边直接通过等效代换得出。
假设地球近似为一个球体,所以相对于围绕它自东向西的运行的太 内容来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.
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