2015高考数学应用题.doc

如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m,圆心为O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离为2m,在圆环上设置三个等分点A1,A2,A3。点C为上一点(不包含端点O、B),同时点C与点A1,A2,A3,B均用细绳相连接,且细绳CA1,CA2,CA3的长度相等。设细绳的总长为(1)设∠CA1O=(rad),将y表示成θ的函数关系式;(2)请你设计,当角θ正弦值的大小是多少时,细绳总长y最小,并指明此时BC应为多长。BA1A2COA318.(Ⅰ)解:在△COA1中,,,………2分=()……7分(Ⅱ),令,则………………12分当时,;时,,∵在上是增函数∴当角满足时,y最小,最小为;此时BCm…,某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量(单位:吨)与上市时间(单位:月)的关系大致如图(1)所示的折线表示,销售价格(单位:元/千克)与上市时间(单位:月)的大致关系如图(2)所示的抛物线段表示(为顶点).(1)请分别写出,关于的函数关系式,并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份?(2)图(1)中由四条线段所在直线围成的平面区域为,动点在内(包括边界),求的最大值;(3)由(2),将动点所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算(如类比为),试列出所满足的条件,并求出相应的最大值.(图1)(图2)(Ⅰ).(在恒成立,所以函数在上递增当t=6时,=.∴6月份销售额最大为34500元.(Ⅱ),z=x——5y=A(x+y)+B(x—y),则,∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y).由,,∴,则(z)max=11.(Ⅲ)类比到乘法有已知,=()A·()B.∴,∴,则(z)max=.18.(本题满分15分)(图乙)(图甲)如图甲,一个正方体魔方由27个单位(长度为1个单位长度)小立方体组成,把魔方中间的一层转动,如图乙,设的对边长为.(1)试用表示;(2):本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,:(1)由题意得,解得,(6分)(2)魔方增加的表面积为,由(1)得,(10分)令,则(当且仅当即时等号成立),答:当时,魔方增加的表面积最大为.(15分)17.(本题满分15分)请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库(供融化高速公路上的积雪之用).它的上部是底面圆半径为5m的圆锥,下部是底面圆半径为5m的圆柱,,制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/、100元/,问当圆锥的高度为多少时,该仓库的侧面总造价(单位:元)最少?:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,:(法一)设圆锥母线与底面所成角为,且,(2分)则该仓库的侧面总造价,(8分)由得,即,(13分)经检验得,当时,侧面总造价最小,此时圆锥的高度为m.(15分)(法二)设圆锥的高为m,且,(2分)则该仓库的侧面总造价,(8分)由得,(13分)经检验得,当时,侧面总造价最小,此时圆锥的高度为m.(15分),用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域(如图所示),已知,B是墙角线AM上的一点,C是墙角线AN上的一点.(1)若BC=a=20,求储存区域面积的最大值;(2)若AB=AC=10,在折线内选一点,使,:(1)设由,(2)由,知点在以,为焦点的椭圆上,∵,∴要使四边形DBAC面积最大,只需的面积最大,此时点到的距离最大,,,,其两边走廊的宽度均为2m.(1)过点的一条直线与走廊的外侧两边交于两点,且与走廊的一边的夹角为,将线段的长度表示为的函数;(2)一根长度为5m的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊?请说明理由(铁棒的粗细忽略不计).解:(1)根据图得(2)铁棒能水平通过该直角直廊,理由如下:令得,.当时,为减函数;当时,为增函数;所以当时,有最小值,因为,.(本小题满分16分)如图一块长方形区域ABCD,AD=2(),AB=1().在边AD的中点O处,有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF始终为,设∠AOE=α,探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S. (1)当0≤α<时,写出S关于α的函数表达式;(2)当0≤α≤时,(第19题)(3)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE自OA转到OC,再回到OA,称“一个来回”,忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间),且转动