高中数学 希尔波特23个数学问题及解决情况素材.doc

希尔波特23个数学问题及解决情况1)康托的连续统基数问题。1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假设。1938年,侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科恩()证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而,连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下,问题已获解决。(2)算术公理系统的无矛盾性。欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明,哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨(,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。(3)只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。问题的意思是:存在两个等高等底的四面体,它们不可能分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等,德思()1900年已解决了这一问题。(4)两点间以直线为距离最短线问题。此问题提的一般。满足此性质的几何模型很多,因而需要加某些限制条件。1973年,苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布,在对称距离情况下,问题获解决。(5)拓扑学成为李群的条件(拓扑群)。这一个问题简称连续群的解析性,即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年,由格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montgomery)、齐宾(Zippin)共同解决。1953年,日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。(6)对数学起重要作用的物理学的公理化。1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来,在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化,很多人有怀疑。(7)某些数的超越性的证明。需证:如果a是代数数,β是无理数的代数数,那么aβ一定是超越数或至少是无理数(例如,2√-2和exp(π))。苏联的盖尔封特(Gelfond)1929年、德国的施奈德(Schneider)及西格尔(Siegel)1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前,确定所给的数是否超越数,尚无统一的方法。(8)素数分布问题,尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决,其最佳结果均由中国数学家陈景润得出。(9)一般互反律在任意数域中的证明。1921年由日本的高木贞治,1927年由德国的阿廷()各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。(10)能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解?求出一个整数系数方程的整数根,称为丢番图(约公元前210-公元前290,古希腊数学家)方程可解。1950年前后,美国数学家戴维斯(Davis)、普特南(Putnan)、罗宾逊(Robinson)等取得关键性突破。1970年,巴克尔(Baker)、费罗斯(Philos)对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年,苏联数学家马蒂塞维奇最终证明:在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果,却产生了一系列很有价值的副产品,其中不少和计算机科学有密切联系。(11)一般代数数域内的