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隨機化集區,拉丁方陣,與相關設計2.doc


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隨機化集區,拉丁方陣,與相關設計
Chap 4. Randomized Blocks, Latin Squares, and Related Design
(续)
4-2 拉丁方阵设计(The Latin Square Design)
随机化完全集区设计经由除去已知及可控的扰动变数的变异来降低实验中残留误差,另尚有数种设计亦用到集区划分原理。如,实验者正研究机员逃生系统之火箭推进剂的5种配方对燃烧速率的效果,每种配方是由原料混合而成,原料批正足5次配方,再者,由不同技术员进行配方的准备工作,这些技术员之间的技术与经验可能有很大的差异,因此,似乎有两个扰动因子须被”平均掉(Averaged Out)”---原料批与技术员。此问题的适当设计是『对每一批原料、每种配方恰好作一次测试;且每种配方由每一位技术员恰好进行一次混合』,此设计如下表所示,称之为拉丁方阵设计。
原料批
技术员
1
2
3
4
5
1
A=24
B=20
C=19
D=24
E=24
2
B=17
C=24
D=30
E=27
A=36
3
C=18
D=38
E=26
A=27
B=21
4
D=26
E=31
A=26
B=23
C=22
5
E=22
A=30
B=20
C=29
D=31
此设计是一个方阵安排,配方(或处理)是以拉丁字母A, B, C, D, E表示,亦因此称之拉丁方阵。原料批(列)与技术员(行)两者均与处理直交。
拉丁方阵设计是用来除去两个变异的扰动源,即其允许系统地进行两个方向的集区划分,因此,”列”与”行”即表示随机化的两限制。一般而言,p因子的拉丁方阵,或p´p拉丁方阵,是p列与p行的方阵,结果之p2格中每一格均有一个代表处理之p个字母中的一个,并且每个字母在每列与每一行仅出现一次。
5´5
ADBEC
DACBE
CBEDA
BEACD
ECDAB
4´4
ABCD
BCAD
CDBA
DACB
6´6
ADCEBF
BAECFD
CEDFAB
DCFBEA
FBADCE
EFBADC
拉丁方阵之统计模式是
yijk = m + ai + tj + bk + eijk , i , j, k = 1, 2,…, p (4-22)
式中,yijk是第i列第k行的第j种处理的观测值、m是总平均,ai是第i列效果、tj是第j种处理效果、bk第k行效果、与随机误差。『此模式是完全地可加性,即列、行与处理无交互作用
』。因为每种处理在每一行与每一列中恰仅出现一次,故三个下标i, j, k中只须知两个就可标示一特定的观测值,如,i = 2、k = 3,则j = 4 (配方D);i = 1、j = 3,则k = 3 (配方C)。
ANOVA是将N = p2个观测值的总平方和分割成列、行、处理与误差等部份,如
SST= SSRows + SSColumns + SSTreatments + SSE (4-23)
及个别自由度
p2-1 = (p –1) + ( p-1) + (p-1) + (p-2)(p-1)
在eij ~ NID(0, s2)的假定下,(4-23)式等号右边各平方和除以s2以后,均为独立分配的卡方随机变量。检定处理平均间无差异的适当的统计量为,
F0 = MSTreatments /MSE
而其事先假设下的分配是Fp-1,(p-2)(p-1) 。
变异来源
平方和SS
自由度
均方
F0
处理
SSTreatments
p-1
SSTreatments/
(p-1)
MSTreatments /MSE

SSRows
p-1
SSRows/
(p-1)

SSColumns
p-1
SSColumns/
(p-1)
误差
SSE
(By Subtraction)
(p-2)(p-1)
SSE/
(p-2)(p-1)
总和
SST
p2-1
*************
例题4-3
考虑上述之火箭推进剂问题,其中原料批和技术员代表随机化限制。先将每个观测值减25成为编码数据。
原料批
技术员
1
2
3
4
5
yi··
1
A=-1
B=-5
C=-6
D=-1
E=-1
-14
2
B=-8
C=-1
D=5
E=2
A=11
9
3
C=-7
D=13
E=1
A=2
B=-4
5
4
D=1
E=6
A=1
B=-2
C=-3
3
5
E=-3
A=5
B=-5
C=4
D=6
7
y··k
-18
18
-4
5

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