神奇的斐波那契数列.doc

神奇的斐波那契数列                           ●神奇的斐波那契数列●      斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……  这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}(又叫“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。)(√5表示根号5) 有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。    【奇妙的属性】 随着数列项数的增加,…… 从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。(注:奇数项和偶数项是指项数的奇偶,而并不是指数列的数字本身的奇偶,比如第五项的平方比前后两项之积多1,第四项的平方比前后两项之积少1) 如果你看到有这样一个题目:某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你:为什么64=65?其实就是利用了斐波那契数列的这个性质:5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到。 斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。   斐波那契数列(f(n),f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2……)的其他性质: (0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1 (1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1 (0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1 4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1) (0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1 (m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n) 利用这一点,可以用程序编出时间复杂度仅为O(logn)的程序。 7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1) (2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2 (n)=f(n+2)+f(n-2) (2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m)[n〉m≥-1,且n≥1]    在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列                    …… 过第一行的“1”向左下方做45度斜线,之后做直线的平行线,将每条直线所过的数加起来,即得一数列1、1、2、3、5、8、……      斐波那契数与植物花瓣 3………………………百合和蝴蝶花 5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草 8………………………翠雀花 13………………………金盏草 21………………………紫宛 34、55、89……………雏菊   斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子(假定没有折损),直到到达与那息叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序(源自希腊词,意即叶子的排列)比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。    向日癸结籽盘,是对数螺线,有顺时针也有逆时针的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐数,一般是34和55,大的向日癸是89和144,还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线,都是相继的斐数,和向日葵是一样的,还有松籽、菜花。  这种现象走到1993年才给出了合理的解释,这是植物生长的动力特性造成的,相同器官原基之间的夹角是黄金角------;这使种子的零售堆集效率达到最高。钢琴中的键也是斐数。  推广的斐列:改变前两顶,前两项不能是1、2这样就缺推理下去就缺了一项不是严格意义上的推广。所以前两项可以是1,3,,18.。。。。。称之为卢卡斯数列。卢卡斯数列前项比后项还有极限,极限还是黄金比。再回到开始的问题,连续的十个斐数,是第七个数的11倍。推广了斐数列也 有这个特性。他的前N 项和等于第N+2项减去第2项。  【相关的数学问题】  有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?  这就是一个斐波那契数列:登上第一级台阶有一种登法;登上两级台阶,有两种登法;登上三级台阶,有三种登法;登上四级台阶,有五种登法…… 1,2,3,5,8