现代数学基础学习报告.doc

现代数学基础学习报告.doc现代数学基础学****报告Banach压缩映像原理及其应用院系:信息与电气工程专业:电子与通信工程导师: 姓名: 学号:12S130046摘要在科学技术迅速发展的今天,各学科对数学的要求越来越高,如工程、经济、管理中涉及的数学知识越来越多、越来越深刻。泛函分析是数学中比较年轻的分支,它是古典分析观点的推广,它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数,内容极其丰富,体系更加系统、严谨,观点尤为深刻,作为一种研究工具己经渗入到工程、化学、生物以及数学的许多分支。在微分方程、概率论、力学、控制论等许多学科得到广泛的应用。对于数学工作者和以数学为工具的工程技术人员來说,泛函分析是一个非常有效的数学工具。本文将利用泛函分析中的Banach压缩映像理论研究求解代数方程、微分方程、积分方程以及数值分析中迭代算法收敛性的理论依据,该方法是数学和工程计算中最常用的方法之一。文中首先介绍Banach压缩映像原理理论,然后将其用到代数方程、微分方程以及积分方程的求解中。关键词:Banach压缩映象,微分方程,积分方程,线性方程组随着现代电子计算机技术的发展,我们在解方程(包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等)的过程中,大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说:对一个方程,只要给定一个迭代公式,就算求出了这个方程的解,我们仍需要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题。但是在逐次迭代中,我们必须保证迭代过程中得到的是收敛序列,否则就毫无意义了,而迭代法求解方程的实质就是寻求变换(映射、映照)的不动点。例如求解方程的根/(x)=0,我们就可以令g(A)=x-/(x),则求/(x)=0的根就变成求g(Q的不动点,即求心,使^(x0)=x-/(x0)o而通常求映射的不动点的方法中,最简单的就是下面我们所讲述的Banach压缩映像原理。下面我们通过几个有用的定义和例子慢慢引出Banach压缩映像原理。定义1设T是集合X到X的映射,若存在xgX,使得Tx=x,则称x为映射T的不动点(fixedpoint)。例1平移映射7;:T为Tax=x+a(ae,ghO),则7;没有不动点。例2定义映射T:T为Tx=x2(xg),则T有两个不动点:0和1。例3投影映射片:2-$定义为,对每一个乳=(匚冬)w2,中=(匚0),则人有无穷多个不动点。我们一般比较关心映射T-.X 在什么条件下存在唯一的不动点,在本文屮,我们将指出,完备的度量空间X到自身的某一类映射(称为压缩映射),存在唯一的不动点。这就是Banach压缩映象原理,在证明该原理的过程中,具体地给出了如何求不动点的方法,即迭代法。定义2设(X,〃)是度量空间,映射T:XtX。若存在一个常数a,0<«<1使得一切x,ywX,有d(Tx,Ty)<ad(x,y)f则映射T称为X上的压缩映射(contractionmapping)。定理1(Banach压缩映象原理)设(X,d)是完备的度量空间,映射T:X->X为压缩映射,则T存在唯一的不动点,即存在唯一的xwX使得Tx=xo证明存在性。任取xoeX,我们采取如下迭代法构造一个序列{兀」,令旺=矶,兀2=及1,・・・暫+1=7\”,•・・由假设T:X—X为压缩映射,则存在«,0<«<1,使得d(7x,7)j)<ad(x,y)(x,ygX)□我们证明{兀}为