金融工程二叉树定价方法.docx

安徽工程大学AnHuipolytechnicuniversity金融工程实验报告实验题目二叉树定价方法专业班级:数学与应用数学(132班)姓名:丁子凡学号:二叉树定价方法实验报告1. 1 实验概述   本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础,然后给出期权的二叉树定价方法的基本过程和MATLAB7. 0实现的过程。1. 2 实验目的  (1)了解二叉树的定价机理; (2)掌握用MATLAB7. 0生成股票价格的二叉树格子方法; (3)掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。1. 3 实验工具  MATLAB 7. 0。1. 4 理论要点  构造二叉树图(Binomial Tree)是期权定价方法中最为常见的一种。这个树图表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。二叉树定价方法与风险中性定价理论是紧密联系的。Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了构造离散的风险中性概率可以给期权定价,在此基础上他们给出了二叉树定价方法。(1)一个简单的例子       假设当前(3月份)股票的价格So =50元,月利率是25%。 4月份股票价格有两种可能:S高=100元,S低=25元。有一份看涨期权合约,合约约定在4月份可以以50元价格买进一股股票。现在考虑一个投资组合,进行几项操作:以价格C卖出3份看涨期权合约;以50元购入2股股票;以25%的月利率借人40元现金,借期为一个月。 根据上述组合,我们可以得到以下到期收益分布表,如表1. 1所示。 投资组合的到期收益分布表 三月份                 四月份 S低=25元         S高=100元 卖出3份看涨期权合约   3C          0                -150 买人两股股票             -100         50                200 借人现金                  40          -50               -50 总计                         0              0                 0 由一价定律3C-100+40=0,可得C= 20元,即为期权的价格。这个例子说明,可以用一个相当简单的方法为期权定价,唯一需要做的是假设对投资者而言不存在套利机会。我们可以通过某种方式构造一个股票和期权的组合,使得在4月份该组合的价值是确定的。于是我们可以说该组合无风险,它的收益率一定等于无风险收益率。二叉树方法正是基于上述思想构造了二项分布下的风险中性概率。(2)二叉树模型  考虑一个不支付红利的股票期权价格估值。我们把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 Δt。假设在每一个时间段内股票价格从开始的价格S以概率p上升到Su,以概率1-p下降到Sd,其中,u>1,O<d<l。也就是说在任何一个时期,股票都有两个可能的价值,如图1. 1所示。                 Su4图1. 1股票价值变化的可能性                 图1. 2 二叉树模型例如,我们假定将期权的有效期分成4个时期,在任何一个时期,股票都有两种可能的价值,即每个时间段都假定是一个两状态过程。当N=4时,我们有以下结点图1. 2。在风险中性概率Q下,P=且有,其中fu和fd是在△t期后的期权可能的价格分布,分别为期权价格高点和低点。令u=1/d,根据股票回报率的方差s,我们有和Ds若每个股票价格路径的样本点个数为N+1,那么欧式看涨期权的到期收益的样本路径为:,j=0,1….N向后递归可得:相应欧式看跌期权的到期收益表示:,j=0,1….N美式看涨期权的到期收益与欧式看涨期权是一致的,因此我们下面仅考虑美式看跌期权的格子(Lattice): ,j=0,1….N向后递归可得:其中i=N-1,N-2,…,0;j=0,1,…i1. 5 实验过程  我们首先给出欧式期权的二叉树定价的MATLAB代码,然后给出美式期权的二叉树定价的代码。1. 5. 1 欧式看涨期权(1)欧式看涨期权的二叉树定价 下面的函数LatticeEurCall( )给出了利用二叉树的方法给欧式看涨期权定价:%欧式看涨期权的二叉树定价价: % function [price, lattice]=LattceEurCall(SO,E,r,T,sigma, N) %S0:股票现价,E:执行价格,r:利率,T:期权的有效期限,sigma:波动率,N:结点数 deltaT=T/N;   %日期步长 u=exp(sigma*sqrt(deltaT); d=1/u; p=(exp(r*deltaT)/(u-d);    %凤险中性概率 latt