高考数学专题： 空间向量与立体几何.docx

高考数学专题: 空间向量与立体几何1.(2014· 广东,5,易)已知向量 a=(1,0,-1),则下列向量中与 a 成 60°夹角的是( )A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1) 设所选向量为 b,观察选项可知|b|= 2,∵〈a,b〉=60 ,1∴cos 〈a,b〉=a· b   12× 2=2,∴a· b=(1,-1,0)适合,故不妨设 e1=ç  ,    3÷,e2=(1,0,0),∴b=ç  ,=ç  -  x-y,    32  - 2 x,t÷,故|b|=    æ5ö2ç2÷  +çè 2 ø÷  +t2选 .(2015· 浙江,15,难)已知 e1,e2 是空间单位向量,e1· e2= b 满5足 b·e1=2,b·e2=2,且对于任意 x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则 x0=______,y0=________,|b|= π2.【解析】 ∵e1· e2=|e1||e2|cos〈e1,e2〉=cos〈e1,e2〉=2,∴〈e1,e2〉=3.æ1 öè2 2 ,0øb=(m,n,t).1 3则由题意知 b· e1=2m+ 2 n=2,5b· e2=m=2,3 5解得 n= 2 ,m=2,æ5 3 öøè2 2 ,t÷.∵b-(xe1+ye2)æ5 1 3 öè2 2 øæ5 1 ö2 æ 3 3 ö2 èè ø ø∴|b-(xe1+ye2)|2=ç2-2x-y÷ +ç 2 - 2 x÷ +,当 x=x0=1,y=y0=2 时,|b-(xe1+ye2)|2 取到最小值  t2=1,æ 3ö2è ø= 8=2 2.【答案】 1 2 2 22)3.(2016· 课标Ⅲ,19,12 分,中 如图,四棱锥P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点.(1)证明 MN∥平面 PAB;(2)求直线 AN 与平面 PMN :(1)证明:由已知得 AM=3AD=,取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 中点知 TN∥BC,TN=2BC= AD∥BC,故 TN 綊 AM,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN∥ AT 平面 PAB,MN 平面 PAB,所以 MN∥平面 PAB.(2)如图,取 BC 的中点 E,连接  AB=AC 得 AE⊥BC,从而 AE⊥AD,且AE= AB2-BE2=æBCö2è 2 øAB2-ç  ÷ =  A 为坐标原点,分别以AE,AD,AP的方向为 x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立2,0),Nç   ,1,2÷.PM=(0,2,-4),PN=ç,1,-2÷,AN=ç 2 ,1,2÷.→ → →如图所示的空间直角坐标系 A-,P(0,0,4),M(0,2,0),C( 5,æ 5 öè 2 ø→ → æ 5 ö → æ 5 öè 2 ø è ø3ìïn· PM=0,ïîn· PN=0.→设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,则í→ì2y-4z=0,即í 5î 2 x+y-2z= n=(0,2,1).于是|cos〈n,AN〉|=|n· AN|8   5→ = 25 .→→|n||AN|8 5所以直线 AN 与平面 AMN 所成角的正弦值为 25 .4.(2016· 北京,17,14 分,中)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD= 5.(1)求证:PD⊥平面 PAB;(2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值;(3)在棱 PA 上是否存在点 M,使得 BM∥平面 PCD?若存在,AM求 AP 的值;若不存在,:(1)证明:因为平面 PAD⊥平面 ABCD,AB⊥AD,所以 AB⊥平面  AB⊥ PA⊥PD,所以 PD⊥平面 PAB.(2)如图,取 AD 的中点 O,连接 PO, PA=PD,所以 PO⊥ PO⊂ 平面 PAD,平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PO⊥平面  CO⊂ 平面 ABCD,所以 PO⊥ AC=CD,所以 CO⊥ O-,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,40),D(0,-1,0),P(0,0,1).ìïn· PD=0,ì-y