概率论公式总结.pdf

第一章P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)F(x)P(Xx)P(Xk)kx特别地,当A、B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式P(AB)P(A|B)P(B)概率的乘法公式P(AB)P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)全概率公式:从原因计算结果nP(A)P(Bk)P(A|Bk)k10F(x,y)1Bayes公式:从结果找原因F(x,y)P{Xx,Yy}P(Bi)P(A|Bi)P(Bk|A)nP(Bk)P(A|Bk)k1第二章二项分布(Bernoulli分布)——X~B(n,p)kknkP(p(1p),(k0,1,...,n)泊松分布——X~P(λ)kP(Xk)e,(k0,1,...)k!概率密度函数f(x)dx1P(aXb)怎样计算概率bP(aXb)f(x)dxa均匀分布X~U(a,b)1f(x)(axb)ba指数分布X~Exp(θ)1x/f(x)e(x0)F'(x)f(x)分布函数对离散型随机变量x对连续型随机F(x)P(Xx)f(t)dt变量分布函数与密度函数的重要关系:xF(x)P(Xx)f(t)dt二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法f(x,y)联合密度F(x,y)函数联合分布函数f(x,y)0f(x,y)dxdy1联合密度与边缘密度fX(x)f(x,y)dyfY(y)f(x,y)dx离散型随机变量的独立性P{Xi,Yj}P{Xi}P{Yj}连续型随机变量的独立性f(x,y)fX(x)fY(y)第三章数学期望E(X)xkPkk离散型随机变量,数学期望定义E(X)xf(x)dx连续型随机变量,数学期望定义E(a)=a,其中a为常数E(a+bX)=a+bE(X),其中a、b为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y),X、Y为任意随机变量E(g(X))g(xk)pkk随机变量g(X)的数学期望常用公式E(X)xipijijE(X)xf(x,y)dxdyE(XY)xiyjpijijE(XY)E(X)E(Y)E(XY)xyf(x,y)dxdy当X与Y独立时,E(XY)E(X)E(Y)方差定义式2D(X)xE(X)f(x)dx22常用计算D(X)E(X)E(X)式常用公式D(XY)D(X)D(Y)2E{(XE(X))(YE(Y))}当X、Y相互独立时:D(XY)D(X)D(Y)方差的性质D(a)=0,其中a为常数D(a+bX)=b2D(X),其中a、b为常数当X、Y相互独立时,D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数EXE(X)YE(Y)E(XY)E(X)E(Y)Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)Cov(X,Y)XYD(X)D(Y)协方差的性质2Cov(X,X)E(X2)E(X)D(X)Cov(aX,bY)abCov(X,Y)Cov(XY,Z)Cov(X,Z)Cov(Y,Z)独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立第四章2X~N(,)正态分布2(x)12f(x)e22E(X),D(X)2(a)1(a)标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式P(Za)P(Za)(a)P(Za)P(Za)1(a)P(aZb)(b)(a)P(aZa)(a)(a)2(a)1一般正态分布的概率计算XX~N(,2)Z~N(0,1)一般正态分布的概率计算公式aP(Xa)P(Xa)()aP(Xa)P(Xa)1()baP(aXb)()()第五章n卡方分布22若X~N(0,1),则Xi~(n)i1n2122若Y~N(,),则2Yi~(n)i1t分布X若X~N(0,1),Y~2(n),则~t(n)Y/n22U/n1若U~(n1),V~(n2),则~F(n1,n2)F分布V/n2正态总体条件下样本均值的分布:2XX~N(,)~N(0,1)n/n样本方差的分布:2(n1)S2X~(n1)~t(n1)2s/n两个正态总体的方差之比22S1/S222~F(n11,n21)1/2第六章点估计:参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计nn似然函数Lp(xi;)Lf(xi;)i1i1均值的区间估计——大样本结果xz/2nx—样本均值—标准差(通常未知,可用样本标准差s代替)n—样本容量(大样本要求n50)z/2—正态分布的分位点p(1p)pz/2np—样本比例n—样本容量(大样本要求n50)z/2—正态分布的分位点小样本、正态总体、标准差已知xz/2n