如图所示.doc

如图所示，已知O为正三角形ABC的高AD、BE、CF的交点，P是△ABC所在平面上的任一点，作PL⊥AD于L，PM⊥BE于M，PN⊥CF于N．试证：PL、PM、PN中较大的一条线段等于其它两条线段的和．
考点：四点共圆；等边三角形的性质．
专题：证明题．
分析：因为题设中有正三角形和垂直的条件，由PL⊥AD，PN⊥CF知P、L、O、N、四点共圆，同理P、L、N、M四点共圆，因此P、L、O、N、M五点共圆，再求出△LMN为正三角形即可得出结论．
解答：解：∵PL⊥AD，PN⊥CF知P、L、O、N、四点共圆．
同理P、L、N、M四点共圆，
∴P、L、O、N、M五点共圆．
∵O既是正△ABC的垂心，又是△ABC的内心，
∴∠AOE=∠COE=60°，
再由共圆的条件得到∠MNL=∠LON=60°，∠MLN=∠MON=60°．
∴∠MNL=∠MLN=60°，
∴△LNM是等边三角形，
∵点P是劣弧LM上一点，
∴PN=PL+PM．
△ABC中，AD是△BAC的角平分线，且有 1AD=1AB+1AC，求∠BAC的度数．考点：角平分线的定义；平行线的性质；等边三角形的性质．分析：由 1AD=1AB+1AC得BE=AB，所以∠2=∠E；作BE∥AD交CA延长线于E，则AD∥BE，又AD是△BAC的角平分线，所以∠1=∠2=∠3=∠E，所以∠BAC=180°-∠BAE=180°-60°=120°．解答：解：如图，
作BE∥AD交CA延长线于E，
由 1AD=1AB+1ACAB+ACAB•AC得：
AB+AC= AB•ACAD①
由 BDDC=ABAC得 BDDC=AB+ACAC②
由①②得 BCDC=AB•ACAD•AC=ABAD而 BCDC=BEAD，
所以BE=AB，所以∠2=∠E，
由AD∥BE，所以∠3=∠4，∠1=∠E，
因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠4，
所以∠1=∠2=∠3=∠E，
所以△ABE为等边三角形，
所以∠BAC=180°-∠BAE=180°-60°=120°．
小知识：如图，我们称两臂长度相等（即CA=CB）的圆规为等臂圆规．当等臂圆规的两脚摆放在一条直线上时，若张角∠ACB=x°，则底角∠CAB=∠CBA=（90- x2）°．
请运用上述知识解决问题：如图，n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…
（1）①由题意可得∠A1A2C1=
10
10
°；
②若A2M平分∠A3A2C1，则∠MA2C2=
35
35
°；
（2）∠An+1AnCn=
(90-802n-1)
(90-802n-1)
°（用含n的代数式表示）；
（3）当n≥3时，设∠An-1AnCn-1的度数为a，∠An+1AnCn-1的角平分线AnN与AnCn构成的角的度数为β，那么a与β之间的等量关系是
α-β=45°
α-β=45°
，请说明理由．（提示：可以借助下面的局部示意图）
考点：角的计算；等腰三角形的性质．
专题：规律型．
分析：利用角的和差关系计算，注意利用等腰三角形的性质．
解答：解：（1）①10；②35；
（2）