2011高中数学竞赛培训教材.doc

2011 高中数学竞赛培训教材编者:全国特级教师(一) 集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课, 而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上, 而要随着数学学****的进程而不断深化, 自觉使用集合语言( 术语与符号) 来表示各种数学名词, 主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系, 表示平面轨迹及其关系、表示方程(组) 或不等式(组) 的解、表示充要条件, 描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等。一、学****集合要抓住元素这个关键例1 .设 A= {X∣ X=a2+b2,a 、b∈ Z}, X1, X2∈A ,求证: X1X2 ∈A。分析: A 中的元素是自然数,即由两个整数 a、b 的平方和构成的自然数,亦即从 0、1、4、9、 16、 25 ……, n2, ……中任取两个( 相同或不相同) 数加起来得到的一个和数,本题要证明的是:两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式,即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2 , M,N ∈Z 证明:设 X1= a2+b2 , X2=c2+d2 ,a、b、c、d∈ X1X2 = (a2+b2)(c2+d2) = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 = a2c2+2ac · bd+b2d2+b2c2-2bc · ad+a2d2 = (ac+bd)2+(bc-ad)2 又a、b、c、d∈Z ,故 ac+bd 、 bc-ad ∈Z ,从而 X1X2 ∈A 练****1. 设两个集合 S={x|x=12m+8n,m,n ∈ Z},T={x|x=20p+16q,p,q ∈ Z}. 求证: S=T 。 M={a|a= x2-y2 ,x,y ∈ Z}. 求证:(1 )一切奇数属于 M; (2) 4k-2(k ∈ Z) 不属于 M; (3)M 中任意两个数的积仍属于 M。 3. 已知函数 f(x)= x2+ax+b ,a,b ∈ R,且 A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}. (1) 求证:A B; (2) 若 A={-1 , 3} 时,求集合 B. 二、集合中待定元素的确定例2. 已知集合 M= {X, XY, lg(xy)} ,S= {0,∣X∣, Y},且M=S,则(X+ 1/Y) + (X2 + 1/Y2) + ……+ (X2002 + 1/Y2002) 的值等于( ). 分析: 解题的关键在于求出 X和Y 的值,而X和Y 分别是集合 M与S 中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题, 要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等) 有本质的理解, 对于两个相等的有限集合( 数集), 还会用到它们的简单性质: (a) 相等两集合的元素个数相等; (b) 相等两集合的元素之和相等; (c) 相等两集合的元素之积相等. 解:由 M=S 知,两集合元素完全相同。这样, M 中必有一个元素为 0 ,又由对数的性质知, 0 和负数没有对数, 所以 XY≠0,故X,Y 均不为零, 所以只能有 lg(XY) =0, 从而 XY= 1.∴M= {X,1, 0},S= {0, ∣X∣, 1/X}. 再由两集合相等知当X=1时,M= {1,1 , 0},S= {0,1 , 1}, 这与同一个集合中元素的互异性矛盾,故X=1 不满足题目要求; 当X =- 1 时, M={- 1,1 , 0},S= {0,1 ,- 1},M=S ,从而 X =- 1 满足题目要求,此时 Y =- 1,于是 X2K +1+ 1/Y2K +1 =- 2(K = 0,1 ,2, ……), X2K + 1/Y2K = 2(K = 1,2 , ……), 故所求代数式的值为 0. 练****4. 已知集合?? 54321,,,,aaaaaA?,?? 25 24 23 22 21,,,,aaaaaB?,其中 54321,,,,aaaaa 是正整数, 且54321aaaaa????,并满足?? 41,aaBA??,BAaa???若, 10 41 中的所有元素之和为 234 ,求集合 A。:(1)card(A ∪ B)= card(A) + card(B) - card(A ∩ B); (2)card(A ∪B∪ C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A ∩ B)-card(A ∩ C)-card(B ∩ C)+card(A ∩B∩ C) 问题: 开运动会时, 高一某班共有 28 名同学参加比赛,有 15 人参加游泳比赛,有8 人参加田径比赛, 有 14 人参加球类比赛, 同时参加游