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“等时圆”模型的基本规律及应用
（此文章己发表于《考试》杂志）
前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”，居然有同志认为是“等势圆”吧。 而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解 和接受。基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下：
一、何谓“等时圆”
a> b^ c^ d位于同一圆周
如图1所示，ad. bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆,
上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出） ，三个
滑环分别从&、b、C处释放（初速为0），用t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）
A. tl<t2<t3 B. tl>t2>t3 >tl>t2 D. tl 二t2二t3
解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示， 设圆半径为R,由牛顿第二定律得，
mg cos : - ma.
再由几何关系，细杆长度L =2Rcosr②
1 2
设下滑时间为t,则L二一 at' ③
2
由以上三式得，t = 2 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以
Vg
D正确。由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最 低点的时间相等。
推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开
始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
彖这样的竖直圆我们简称为“等时圆” o关于它在解题屮的应用，我们看下面的例子:
二、“等时圆”的应用
1、可直接观察出的“等时圆”
例1 :如图3,通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体 从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置 所构成的面是（ ）
A正确。
M点，与竖直墙相

解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一 “等时圆”上，所以
例2：如图4,位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于
60°, C是圆环轨道的圆心,
切于点A,竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为
D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM ） o已知在同一时刻： a、b两球分别由
A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到 M点；c球由C点自由下落到M点；d球从
D点静止岀发沿圆环运动到 M点。"9:（ ）
A、a球最先到达M点 B、b球最先到达M点
解析：设圆轨道半径为R,据“等时圆”理论,
怙二狼二2 ,
\ g \g
tb> ta ; C做自由落体运动tc二
2R
:而d球滚下是一个单摆模型,
1 g
摆长为R,
二二
4 2讥
TT 1 ER
,所以C正确。
2、运用等效、类比自建“等时圆”
例3 :如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h, B点离地高度为H,现在要 在地面上寻
找一点P,使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开
解析：由“等时圆”特征可知，当 A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满
始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求 足题设要求。 _A
如图6所示，此时等时圆的半径为:
R = OT'P