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空间探测模型
问题：
山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量确定。一个简化问题可描述为，一块均匀介质构成的矩形平板内有一些充满空气的空洞，在平板的两个邻边分别等距的设置若干波源，在它们的对边对等地安放同样多的接
收器，记录弹性波由每个波
源到达对边每个接收器的时
间，根据弹性波在介质中和
在空气中不同的传播速度，
来确定板内空间的位置。
A
B
C
D
现考虑如下具体问题：
一块240m×240m的平板(如图),在AB边等距的设置7个波源Pi (i=1,…,7),CD边对等地安放7个接收器Qj (j=1,…,7),记录由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij(s);在AD边等距的设置7个波源Ri (i=1,…,7),BC边对等地安放7个接收器Sj (j=1,…,7),记录由Ri 发出的
弹性波到达Sj的时间kij(s).已
知弹性波在介质和空气中的
传播速度分别为2880(m/s)和
320(m/s),且弹性波在铁板边
缘的传播速度与在介质中传
播速度相同。由此确定平板
内空洞的位置
A
B
C
D
Pi
Qj
Ri
Sj
tij
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
P1







P2







P3







P4







P5







P6







P7







部分数据
分析：
A
B
C
D
Pi
Qj
Ri
Sj
A
B
C
D
Pi
Qj
Ri
Sj
空洞位置
传播时间
正问题
反问题
空洞位置如何用数学方式表述？
假设1 弹性波在空洞内传播速度一致，在其它介质中速度也一致
假设2 图中的36块小区域中，要么全是空气，要么全是介质
模型建立：
A
B
C
D
R3
2
1
4
3
5
7
6
9
8
11
10
15
12
33
27
21
S2
d1
d2
d3
d4
d5
d6
第i个小方块内全是介质
第i个小方块内全是空气
波线R3S2在介质中走的距离
在空气中走的距离
整理得
同理，利用计算机编程可得一个含36个未知数，84个方程的方程组
A
B
C
D
R3
2
1
4
3
5
7
6
9
8
11
10
15
12
33
27
21
S2
d1
d4
d2
d3
d5
d6
A
B
C
D
R3
S2
d1
d2
d3
d4
d5
d6
另：
求解：
设最终得到的方程组为
（A，b）极有可能列满秩，即无解
不符合实际数据的假设
求解使 最小的x的最优取值
二次规划
利用MATLAB求解可得




































结论：表中红线区域内出现大面积空洞的可能性很大
模型的优点和缺点
进一步的问题
（2）增加细分程度，能否得到更精确的结果？
A
B
C
D
可以得到含