箱中的粒子讲义.ppt

一维势箱：沿x轴一长度为l的线段内势能为零，除此之外，沿x轴的任何处势能为无穷大。（很好的物理近似，适用于金属和某些共轭分子）隧道
一维势箱中的粒子
箱中的粒子
2021/1/25
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区I和III，势能V为无穷大。其薛定谔方程为：
于是，箱外的波函数为零，即：
区II，势能V为零。其薛定谔方程为：
与∞相比，E可忽略，有：
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上述方程为常系数二阶线齐次方程，其辅助方程为：
此处能量E为势能（为零）加上动能，所以为正的，因此，上式可写为：
代入常系数二阶线齐次方程的通解公式，得：
暂令：
则：
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由于：
则：
于是：
下面利用边界条件求任意常数A与B。
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由于波函数是连续的，其值不会发生突跃。
若ψ在x=0点连续，则ψI和ψII在x=0处必趋于同一值，即：
A＝0
则：
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运用x=l处的连续条件，得：
所以：
然而，必须放弃n=0的值，这将使
(B不能为零，否则波函数处处为零，将有一个空箱)
在0，±π，±2π，±3π，…时，正弦函数为零。则：
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只有上式中的能量值才能使ψ满足在x=l处连续的边界条件，并且可以看出箱中粒子的能量是量子化的，有一大于零的极小值，这与经典的结果相反（可以存在任何非负能量）。
所以：
将 代入
（nπ前用符号不能给出别的独立解，因为sin(－θ)=－sinθ，只单纯地用一常数-1去乘带有正号的解）
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利用归一化条件，要求：
如何确定常数B？
（B为满足绝对值的任何数）
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n=1
n=4
n=3
n=2
波函数 概率密度
波函数和概率密度的图形表示
正弦函数
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图中有些地方的波函数为零（叫做节点）。n的值每增加1，就增加一个节点。
对于n=2，为什么粒子在箱子的中点不会出现呢？这貌似的怪事来自于我们试图用日常****惯的宏观粒子的运动去理解微观粒子的运动。事实上，电子及其它微观粒子不能充分地和正确地用宏观世界得到的经典物理概念的术语来描述。
最低能级在箱的中点有最大的概率，当处于有更多节点的高能级时，极大和极小概率越来越靠近，直到概率的变化到最终察觉不出来，即量子数大时，趋于概率密度均匀的经典结果。在量子数很大的极限情况下，从量子力学过渡到经典力学，通称为玻尔对应原理。
n=1
n=2
n=3
n=4
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