数理统计总.doc

(一)P22:设总体X服从0-1分布,其概率函数为P(X=x)=Px(1-P)1-X,x=0,1 X1,X2…Xn就是来自总体X的样本,试写出样本(X1,X2…Xn)的联合概率函数。
解:(X1,X2…Xn)的联合概率函数为
F(X1,X2…Xn)=
=,Xi=0,1
若求由样本X1、X2…Xn构造的任何函数的概率分布时,原则上都可以通过对f(X1,X2…Xn)的积分或求与来确定。
(二)P30****题6:试证样本方差可以表示为。
证明:



(
三)P31****题15设总体X的概率密度函数为就是来自于总体X的样本,试求。
解:
(四)P39
1:刘圣
2: 由定理知 且假设二者独立,故由F-分布的定义知
3:证明若:则
其中
证明:若则同时 且二者相互独立,所以由t分布的定义得
=
(五)P45设总体X的概率密度函数为f(x)=3x2,0≤x≤1,X1 X2 ……X5就是来自总体X的样本。又设X(1)<X(2)<X(3)<X(4)<X(5)就是样本的一组顺序统计量。试求X(3)的概率密度函数。
解:X的分布函数为

由式(2-7),X(3)的概率密度函数为
=
(六)P58,设总体均为未知参数,就是来自总体X的样本。试求的极大似然估计量。
解: X的概率密度函数为
所以的似然函数为
取对数得
令
所以,的极大似然估计量为
(七) P69设总体X的均值E(X)=µ与方差D(X)=σ2存在,X1X2,…,Xn就是来自总体X的样本,则样本均值为µ的无偏估计,样本方差S2为σ2的无偏估计。就是σ2的有偏估计,但它就是σ2的渐进无偏估计。
证明 因为,所以为µ的无偏估计。
又,,,故
=
所以S2为σ2的无偏估计。而
所以不就是σ2的无偏估计,但,故就是σ2的渐进无偏估计。
(八)P79刘智振
(九) P94 例3-28 从一批电视显像管中随机抽取6个测试其使用寿命(单位:kh):15、6,14、9,16、0,14、8,15、3,15、5,假设显像管使用寿命X～N(μ,σ2),其中参数μ,σ2 均未知,试求
寿命均值μ的置信水平为0、95的单侧置信下限;
寿命方差σ2的置信水平为0、90的单侧置信上限。
解 (1)选取样本的函数为

给定置信水平0、95,使
(a)
从t-分布表查出分位数为t0、05(5)=2、02、式(a)等价于
(b)
则μ的置信水平为0、95的置信下限为
(c)
根据样本观测值得样本均值为=15、35,样本方差为s2=0、203,n=6,代入式(c)得μ的置信下限为
μ的置信水平为0、95的单侧置信区间为(14、98,)。
选取样本的函数为
给定置信水平0、90,使
(d)
从分布表查出分位数为。式(d)等价于
(e)
则σ2的置信水平为0、90的置信上限为
(f)
把s2=0、203代