高考数学专题空间向量与立体几何.doc

立体几何中的向量方法
1、(2012年高考(重庆理))设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,与,且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围就是 (　　)
A. B. C. D.
[解析] 以O为原点,分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴,
则,A
,
2、 (2012年高考(陕西理))如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,,则直线与直线夹角的余弦值为 (　　)
A. B. C. D.
解析:不妨设,
,,直线与直线夹角为锐角,所以余弦值为,选A、
3、(2012年高考(天津理))如图,在四棱锥中,丄平面,丄,丄,,,、
(Ⅰ)证明丄;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为,求AE的长、
【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力与推理论证能力、

方法一:(1)以为正半轴方向,建立空间直角左边系
则
(2),设平面的法向量
则 取
就是平面的法向量
得:二面角的正弦值为
(3)设;则,
即
方法二:(1)证明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以、
(2)解:如图,作于点,连接,由,可得平面、因此,,从而为二面角的平面角、
在中,,由此得,由(1)知,故在中,,因此,所以二面角的正弦值为、

4、(2012年高考(新课标理))如图,直三棱柱中,,就是棱的中点,
(1)证明:
(2)求二面角的大小、
第一问省略
第二问:如图建系:
A(0,0,0),P(0,0,),M(,,0),
N(,0, 0),C(,3,0)、
设Q(x,y,z),则、
∵,∴、
由,得:、 即:、
对于平面AMN:设其法向量为、
∵、
则、 ∴、
同理对于平面AMN得其法向量为、
记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为,
则、
∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为、
5、(2011年安徽)
如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,△OAB,,△,△,△都就是正三角形。
(Ⅰ)证明直线∥;
(II)求棱锥F—OBED的体积。
本题考查空间直线与直线,直线与平面、平面与平面的位置关系,空间直线平行的证明,多面体体积的计算等基本知识,考查空间想象能力,推理论证能力与运算求解能力、
(I)(综合法)
证明:设G就是线段DA与EB延长线的交点、 由于△OAB与△ODE都就是正三角形,所以
=
∥,OG=OD=2,
同理,设就是线段DA与线段FC延长线的交点,有
又由于G与都在线段DA的延长线上,所以G与重合、
=
=
在△GED与△GFD中,由=
∥与OC∥,可知B与C分别就是GE与GF的中点,所以BC就是△GEF的中位线,故BC∥EF、
(向量法)
过点F作,交AD于点Q,连QE,由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,以Q为坐标原点,为轴正向,为y轴正向,为z轴正向,建立如图所示空间直角坐标系、
由条件知
则有
所以即得BC∥EF、
(II)解:由OB=1,OE=2,,而△OED就是边长为2的正三角形,故
所以
过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就就是四棱锥F—OBED的高,且FQ=,所以
6、(2011年北京)
如图,在四棱锥中,平面,底面就是菱形,、
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)若求与所成角的余弦值;
(Ⅲ)当平面与平面垂直时,求的长、
证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD就是菱形,
所以AC⊥BD、
又因为PA⊥平面ABCD、
所以PA⊥BD、
所以BD⊥平面PAC、
(Ⅱ)设AC∩BD=O、
因为∠BAD=60°,PA=PB=2,
所以BO=1,AO=CO=、
如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O—xyz,则
P(0,—,2),A(0,—,0),B(1,0,0),C(0,,0)、
所以
设PB与AC所成角为,则
、
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
设P(0,－,t)(t>0),
则
设平面PBC的法向量,
则
所以
令则
所以
同理,平面PDC的法向量
因为平面PCB⊥平面PDC,
所以=0,即
解得
所以PA=
7、 (2011年福建)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,.
(I)求证:平面PAB⊥平面PAD;
(II)设AB=AP