线性代数第一章复习.ppt

第一章 行列式
§ 二阶、三阶行列式
§ n阶行列式
§ 行列式的性质
§ 行列式按行（列）展开
§ 克莱姆法则
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§、三阶行列式
历史点滴:
行列式来源于线性方程组的求解
1683年,日本数学家关孝和(Seki Takazu,1642-1768)
在其专著<解伏题之法>中提出了行列式的概念与算法
1750年,瑞士数学家克拉默(,1704-1752)
提出了线性方程组的行列式解法 —“克拉默法则”
1772年,法国数学家范德蒙德(,1735 -1851)首先将行列式理论系统化,被誉为行列式理论的奠基人
现行的行列式的记号是由英国数学家凯莱(, 1821-1895)于1841年引进的
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二阶行列式
即实线连接的元之积减去
虚线连接的元之积
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三阶行列式
列标
行标
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三阶行列式的对角线法则
注 ，蓝线上三元素的乘积冠以负号．

!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积, 三项为正,三项为负．
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例题与讲解
例2：计算三阶行列式：
解：
按对角线法则，
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§ n阶行列式
排列：由自然数1，2，······，n 组成的一个有序数组称为一个n 级(元)排列。
自然排列：n级排列123…n 称为自然排列。
214
1314
不是排列
不是排列
n级排列中每个数必须出现一次， n个数中不能有重复数，不能有大于n的数
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5级排列
3142
4级排列
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逆序与逆序数：在一个n级排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序；一个排列中出现的逆序的总数，称为这个排列的逆序数，通常记为N(i1i2…in)。
排列的逆序数为偶数的称偶排列，排列的逆序数为奇数的称奇排列。
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逆序数计算 ：从最左面的数开始算，计算每个数的左边比它大的数的个数，全部加起来。如排列 32514 的逆序数为N（32514）=2+1+2+0+0=5
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对换：在一个n级排列j1 j2 … ji … jk…jn 中，若仅将其中两个数ji、 jk对调,其余不动，可得一个新的排列j1 j2 … jk … ji…jn , 这样的变换称为一次对换。
定理：一次对换改变排列的奇偶性。即
则
奇偶性不同
与
若
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对换性质的证明
思路:先证相邻元素的对换,再证明一般情况。
1.
对换 与
除 外，其它元素的逆序数不改变.
当a<b时,经对换后b的逆序数增加1, a的逆序数不变;
当a>b时,经对换后b的逆序数不变, a的逆序数减少1;
2.
设排列为
,现在对换a与b。
次相邻对换
次相邻对换
即总共经过2m+1次相邻对换,每次都要改变奇偶性。
所以,对换改变奇偶性.
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