简单的幂函数教案.doc.doc

5 简单的幂函数 1. 幂函数的概念如果一个函数的底数是自变量 x, 指数为常量α,即 y= x α, 这样的函数称为幂函数. 例如 y= x 2, 13 y x ??, 2 y x ?, y= x π等都是幂函数. 谈重点幂函数的形式特征(1) 幂x α的系数是 1; (2) 幂的底数为自变量x 而不是x 的其他代数式,如2x或x-1等; (3) 幂的指数位置的数是常数, 指数α确定则幂函数确定. 对于形如 y= (3x) α, y= 2x α, y= x α+ 5…等形式的函数都不是幂函数. 【例 1-1】下列函数是幂函数的为(). ① 21yx ?;②y=2x 2;③y=x 2+x;④y=(x- 2) 3;⑤y= 1. A. ①⑤ B.② C.①D. ①②④解析: 函数 21yx ?可写成 y=x -2 的形式,是幂函数; y=2x 2 的系数不是 1, y= x 2+ x 等式右边是两个幂和的形式, y= (x- 2) 3 底数不是自变量 x,y=1与y=x 0(x≠ 0) 不是同一函数, 所以它们都不是幂函数. 答案: C 解技巧幂函数的本质特征幂函数 y=x α(α∈R) 的本质特征是以幂的底 x 为自变量, 指数α为常数( 也可以为 0) .这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准. 【例 1-2】若函数 y=(a 2-3a- 3)x 2 为幂函数,则 a 的值为________ . 解析: 根据幂函数的定义,若函数 y= (a 2- 3a- 3)x 2 为幂函数, 则x 2 的系数必为 1,即a 2-3a-3=1, 所以 a 2-3a-4=0, 解得 a= -1或a= 4. 答案: - 1或 42. 几个常见幂函数的图像特征及性质根据课程标准的要求, 在中学阶段我们只关注 y=x,y=x 2,y= x 3, 12 y x ?和y=x -1这5 ,在同一平面直角坐标系内作出它们的图像,并观察其图像特征. 从上面的 5 个幂函数的图像,可以看出: (1) 幂指数α=- 1,1,3 时, 对应幂函数的图像分布于第一、三象限, 且都关于原点对称. (2) 幂指数α= 2 时,对应幂函数的图像分布于第一、二象限,它关于 y 轴对称. (3) 幂指数 12 ??时,对应幂函数的图像只分布于第一象限. (4) 在第一象限内, ①图像都过点(1,1) ; ②当幂指数 12 ??, 1,2,3 时,对应的幂函数图像从左向右呈上升趋势,且在(1 ,+ ∞) 上, α的值越大,图像越靠上; ③当幂指数α=-1时, 对应的幂函数图像从左向右呈下降趋势. 析规律幂函数的性质一般地,幂函数 y= x α有以下性质: 当α> 0时:①图像都通过点(0,0) , (1,1) ;②在第一象限内, 函数值随 x 的增大而增大;③在第一象限内,α>1时, 图像是向下凸的; 0<α<1时, 图像是向上凸的;④在第一象限内,过(1,1) 点后, 图像向右上方无限伸展,而且α的值越大,图像越靠上. 当α< 0时:①图像都通过点(1,1) ;②在第一象限内, 函数值随 x 的增大而减小, 图像是向下凸的;③在第一象限内, 图像向上与 y轴无限地接近, 向右与 x 轴无限地接近;④在第一象限内,过(1,1) 点后, |α| 越大,图像下落的速度越快. 当α为奇数时, 幂函数的图像关于原点对称;当α为偶数时, 幂函数的图像关于 y 轴对称. 【例 2- 1】幂函数 y= x α中α的取值集合 C是1 1, 0, ,1, 2, 3 2 ? ??? ?? ?的子集, 当幂函数的值域与定义域相同时,集合 C为(). 1, 0, 2 ? ??? ?? ? ,1, 2 2 ? ?? ?? ? 1, ,1, 3 2 ? ??? ?? ? ,1, 2, 3 2 ? ?? ?? ?解析: 根据幂函数 y=x -1,y=x 0, 12 y x ?,y=x,y=x 2,y=x 3 的图像和解析式可知,当α=-1,12 , 1,3 时,相应幂函数的值域与定义域相同. 答案: C 【例 2-2】下列函数在(-∞, 0) 上为减函数的是(). A. 13 y x ? =x =x =x -2 解析: 对于函数 13 y x ?和y=x -2 的单调性我们不太熟悉,但对于 y=x 2 的图像和性质我们记忆深刻, 知道 y=x 2在(-∞, 0) 上为减函数. 故选 B. 答案: B 【例 2- 3】图中的曲线是四个幂函数在第一象限