北京航空航天大学数学竞赛2016.doc

北京航空航天大学 2010 (本题共 40分) )(xf 在区间),0( ??内连续,对任意正数 x ,有)()( 2xfxf?,且5)3(?f , 则?)1(f _______ 5 ________ ,1 )( 2 5??x xxf 则?)( )5(xf ______ ))1( 1)1( 1(2 !5 66????xx ____________ )(xf 在),( ????内可导,且 2 )( lim exf x???, )]1()1([ lim )( lim??????????xfxfcx cx x xx,则?c ___2 1 ________ ?????? 0 2010 2)1 )(1(xx dx ___4 ?____________ 5.??????1 21)1( lim n nx nx x ______ 1 _______ )4()(??xfxf ,0)0(?f ,且在]2,2(?上有||)(xxf??,则?)9(f ____ 2 1 ____ ??????? 10 10 )1( 20 ????dzedd z_____ ) 11(2e ??__________ ?是八面体 1||||||???zyx 的表面,则???????dS zyx 2)542( __3 114 _______ 2z yeu xy??,直线 L 是直、线?????????042 012zy zx 在平面 5???zyx 上的投影, 求u 在点)1,0,0(P 沿直线 L 的方向导数______ 6 1 _________( 规定 L 与z 轴正向夹角为锐角的方向为 L 的方向) 10. 设由曲线 xy? 2 与直线 1?x 所围的均匀薄片( 面密度为 1 ) 绕过原点的任意直线的转动,则该转动惯量中的最小值为_________ 15 4 ___________ 二.(本题 10分)求p的值,使 0dx e)px( )px( ba 3????解:2 bap ???时0 dtet dte)t( dx e)px( 2010 2010 2010t 2 ba2 ba 3)t( pbpa 3)px( ba 3?????????????三、(本题 10分)设???????????? sin sin sin sin sin sin sin sin sin R)2 0( ????????,试问???,, 中哪一个的变动对 R影响最大? 解?????? sin 1 sin 1 sin 1R 两边取全微分??????????????d sin cos d sin cos d sin cos dR R 1 2222????????????????????d sin cos d sin cos d sin cos RdR 222 2故???????d sin cos R R 2 2,???????d sin cos R R 2 2,???????d sin cos R R 2 2 由于2 0 ????????,所以 0 sin cos sin cos sin cos 222?????????0 RRR????????????因此?的变动对 R影响最大. 四、( 本题 10分)设f(u) 为连续函