定积分求曲边图形面积精析.doc

定积分求曲边图形面积精析
定积分求曲边图形面积精析
定积分求曲边图形面积精析
定积分求曲边图形面积精析
曾玲莉　 熊明军
定积分是课标教材的新增内容,在数学方面主要包括平面图形的面积及微积分基本定理，而利用定积分求含曲边的平面图形面积问题在平面几何中是难以用常规方法加以解决的。定积分知识的引入，为此类问题的解决提供了强有力的方法工具,也充分体现了新内容引进的必要性。
利用定积分求平面曲边图形面积的步骤及理论
基本步骤：①画图形②求交点③写积分④算面积.
基本理论：①如果函数和在上可积,并且满足，
那么介于直线和曲线之间的图形面积可以表示为定积分：．
　②如果函数和在上可积,并且满足，
那么介于直线和曲线之间的图形面积可以表示为定积分:。
＊注意:在基本步骤中，第③步怎样写出图形面积对应的定积分表达式是重点也是难点，由于定积分值不一定为正,但平面曲边图形的面积总是正值，因此,在这里要注意准确把握基本理论，就是根据所画图形查找是否有一条曲线（直线)在另一条曲线（直线）之上,做积分变量不行就换做积分变量。即：
①对于做积分变量时,；
②对于做积分变量时，。
定积分求曲边图形面积精析
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定积分求平面曲边图形面积的典例精析
例1:求曲线与轴在区间上所围成阴影部分的面积.
　
解析：①画图形：如上图已知；②求交点：;③写积分：以作为积分变量，在上,,直线与曲线所围成的曲边图形面积:；在上，，同理可得图形面积为。④算面积：求得阴影部分面积:。
【点评:】本题严格按照文中所列方法步骤解题，条理清晰，形成固定算法，不易出错。
例2：求抛物线与直线所围成图形的面积.
解析:①画图形：
　 ②求交点：联立，解得交点为
③写积分:先以作为积分变量,在积分上不是任意点都满足
(在上没有参与围成曲边图形面积）,所以不选择；再以作为积分变量，在
定积分求曲边图形面积精析
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上，，直线与曲线所围图形面积：。
　 ④算面积：直线与曲线所围曲边图形面积(如上图所示):。
【点评:】根据基本理论，为了满足不等关系，适当选取积分变量,会使计算变得简洁.